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Ein Kirchenfenster, bestehend aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis soll eine bestimmte Menge Licht durchlassen (also bestimmten Flächeninhalt haben) und mit wenig Holz gebaut werden (also möglichst kleinen Umfang  haben) . In welchem Verhältnis müssen dann Breite und Höhe des Fensters  zueinander haben?
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Zur Ergänzung:

Die breite des Rechtecks ist 2*x und die Höhe y. Demnach ist der Radius des Halbkreises x.

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Minimaler Umfang bei gegebenem Flächeninhalt

A = 1/2·pi·r^2 + 2·r·h
h = A/(2·r) - pi·r/4

U = 2·h + pi·r + 2·r
U = 2·(A/(2·r) - pi·r/4) + pi·r + 2·r
U = A/r + pi/2·r + 2·r
U' = - A/r^2 + pi/2 + 2 = 0
r = √(2·a/(pi + 4))

h = A/(2·√(2·a/(pi + 4))) - pi·√(2·a/(pi + 4))/4
h = √(2·a/(pi + 4))

Damit haben r und h die gleiche Länge.

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