Transitive, quasitransitive und tripelazyklische Relationen

Question

 vielleicht kann mir hier jemand helfen... Ich sitze seit einer Stunde vor dieser Aufgabe und habe keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe angehen soll. Ich weiß, wie man mit Relationen in der Form xRy oder so umgeht, aber was das hier soll verstehe ich nicht:

≼ ist (wie üblich) transitiv genau dann, wenn für beliebige x; y; z ∈ M : x ≼ y &y ≼ z ⇒ x ≼ z. Ferner heiße ≼ quasitransitiv genau dann, wenn ≺ transistiv ist, d.h. wenn für beliebige x; y; z ∈ M : x ≺y &y ≺ z ⇒ x ≺ z und schließlich tripelazyklisch genau dann, wenn für beliebige x; y; z ∈ M : x ≺ y &y ≺ z ⇒ z ⊀ x (d.h. nicht z ≺ x). Zeigen Sie bitte, dass folgende Behauptung gilt: wenn ≼ transitiv ist, dann ist ≼ auch quasitransitiv und tripelazyklisch.

Comments

Das ist schwierig, denn theoretisch kann die gegebene Relation ≼ ja symmetrisch sein. Ihre Nicht-Symmetrie wird zwar durch die Aufgabenstellung und die Schreibweise ≼ impliziert, die spezielle Eigenschaft, die man für den Beweis benötigt (Antisymmetrie) wird (leider) jedoch nicht benannt (https://de.wikipedia.org/wiki/Antisymmetrische_Relation).

PS: Du könntest für den Beweis dann ansetzen "Sei ≼ antisymmetrisch...".

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Ich verstehe das ganze Prinzip dahinter nicht: wieso ist die quasitransitive in der transitiven Relation "inkludiert", wie ich andernorts gelesen habe?

Ich verstehe leider immer noch nicht, wie ich diese Aufgabe angehen soll...

Vielen Dank, Nestor

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Dieser Beweis ist eigentlich sehr einfach. Das einzige, was du voraussetzen musst, ist, dass die Elemente x, y und z paarweise verschieden sind. Da sie nicht gleich sind, folgt die Quasitransitivität aus der Transitivität.

(Dass sie verschieden sind, kann man voraussetzen, da durch ≺ angedeutet wird, dass für die Relation gilt (x, x) ∉ R, wobei R die Relation ist.)

((x, x) ∉ R bedeutet das gleiche wie x ⊀ x.)

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Okay, klar, das heißt aber doch nur, dass ≺ transitiv ist und nicht, dass ≼ quasitransitiv ist - oder? Ich meine bei x ≼ y &y ≼ z ⇒ x ≼ z kann man doch nicht voraussetzen, dass x nicht = z ist?

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Gemäß der Definition, die ich zitiere

"Ferner heiße ≼ quasitransitiv genau dann, wenn ≺ transistiv ist, d.h. wenn für beliebige x; y; z ∈ M : x ≺y &y ≺ z ⇒ x ≺ z [...]."

impliziert meiner Meinung nach das Weglassen des Gleichheitsstriches, dass man die paarweise Ungleichheit von x, y und z voraussetzen kann.

Mit anderen Worten ist ≼ definitionsgemäß quasitransitiv, wenn ≺ transitiv ist, was du ja im Prinzip in deinem Kommentar auch schon festgestellt hast.

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Okay, vielen Dank, das verstehe ich jetzt. Aber kann man mit dem gleichen Argument, nämlich der paarweisen Ungleichheit und der Annahme der Transitivität auch die zweite Aussage der Tripelazyklik behaupten?

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Tja, hier greift wieder die Antisymmetrie, bzw. die Asymmetrie (https://de.wikipedia.org/wiki/Asymmetrische_Relation)

Die Aufgabenstellung verwirrt mich selbst, da man nicht weiß, welche Art der Nicht-Symmetrie der Relation man voraussetzen kann. Es erscheint mir nur vage impliziert.

Setzt man die Antisymmetrie von ≼ bzw. die Asymmetrie von ≺ jedoch voraus, so wird die Antwort auf deinen letzten Kommentar sofort wieder trivial, denn aus x ≺ y und y ≺ z ⇒ x ≺ z folgt dann sofort definitionsgemäß z ⊀ x, was der Asymmetrie entspricht. Die Tripelazyklik ist dann gezeigt.