Bestimme Real-und Imaginärteil, Betrag und Argument. z=(1/(3-i))^2

Question

Zuerst muss man den folgenden Komplexen Ausdruck \( z = \left( \frac { 1 } { 3 - i } \right) ^ { 2 } \) vereinfachen, dann bestimmen:

a) Realteil von z

b) Imaginärteil von z

c) Betrag von z

d) Argument von z

Kann vielleicht jemand eine Muster Lösung  angeben.

Answer 1

Hi,

Mit z = a+bi

a),b)

$$\frac{1}{(3-i)^2} = \frac{1}{8-6i} = \frac{8+6i}{100} = \frac{2}{25} + \frac{3}{50}i$$

c)

$$|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{\left(\frac{2}{25}\right)^2 + \left(\frac{3}{50}\right)^2} = 0,1$$

d)

$$\arctan(\frac ba) = 36,87°$$

Güße

Comments

Bei a,b) habe ich im Nenner so gerechnet:

$$ ( 3 - i ) ^ { 2 } = 9 - 2 \times 3 \times ( - i ) + ( - i ) ^ { 2 } = 9 + 6 i + i ^ { 2 } $$

und wenn i^2 =-1 , dann bekomme ich 8+6i im Nenner.

können Sie ausführlicher beschreiben,wie Sie dann auf

8+6i/100=2/25+3i/50

kommen?

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Das was Du da gemacht hast ist falsch. Du scheinst einen Mix aus zweiter binomischer Formel und ausmultiplizieren gemacht zu haben.

(3-i)^2 = 9 - 2*3*i + i^2 = 9-6i-1 = 8-6i


Im Nenner wollen wir reell sein, dewegen erweitern wir mit der dritten binomischen Formel, also 8+6i.

Im Nenner ergibt sich dann (8-6i)(8+6i) = 64-36i^2 = 64+36 = 100


Klar? ;)

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Die Lösung hat auch mir auf die Sprünge geholfen!

Danke dafür ;)