Differentialgleichung (Dgl) 1. Ordnung x*y' = y+x * Wurzel x²+y²

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Hallo,

habe ein kleines Problem mit einer Differentialgleichung 1. Ordnung. 

Lösen sie folgende DGL. 1 Ord. x*y´ = y+x * Wurzel x2+y2 und dann anpassen an Anfangsbedingung y(x=2)=10

 

Bekomme die Wurzel nicht weg. Hatte es mit Substitution und TdV (Trennung der Variablen) versucht, komme aber einfach nicht drauf. 

 

Vielleicht kann mir ja einer helfen DANKE :-) 

Gefragt 27 Jun 2012 von Gast cb7166

Wie weit geht die Wurzel?

Entweder die Klammern setzen Wurzel(...) oder die Gleichung mit dem Formeleditor erstellen und als Bild hochladen.

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Beste Antwort

Ich würde mal folgende Substitution versuchen:

u(x) = x*v(x) bzw. v = u/x

Daraus folgt: v' = u + x*u'

Teilt man die gegebene Differentialgleichung einmal durch x, so folgt:

y' = y/x + sqrt(x²+y²)

 

Mit der Substitution:
 

u + x*u' = u + sqrt(x²+x²u²) | -u, :x

u' = sqrt(1+u²)

 

Das lässt sich jetzt sehr einfach mit Separation der Variablen lösen.


 

Das Integral über 1/sqrt(1+u²) lässt sich leicht durch eine Substitution mit u=sinh(v) und ausnutzen des hyperbolischen Pythagoras 1=cosh²(x) - sinh²(x) lösen.

Beantwortet 27 Jun 2012 von Julian Mi Experte X
Ich hab da mal eine Frage zu.

Und zwar, wie kommst du von sqrt(x²+x²u²) auf sqrt(1+u²)?

Du teilst durch x, dass ist klar. Aber wie sieht der Schritt genau aus? Oder is das eine bestimmte Regel die ich noch nicht kenne?

Danke schon mal.

Gruß
Oh, das war vielleicht ein Schritt zu schnell.

Ich klammere in der Wurzel x² aus, das sieht dann so aus:

sqrt(x²+x²u²) = sqrt(x²*(1+u²))

Und jetzt ist nach den Wurzelgesetzen sqrt(a*b) = sqrt(a)*sqrt(b), also in diesem Fall:

sqrt(x²*(1+u²))= sqrt(x²)*sqrt(1+u²) = x*sqrt(1+u²)

Und jetzt teile ich durch x, dann fällt das weg und übrig bleibt sqrt(1+u²).

Wo ist denn bei der Substitution:

u + x*u' = u + sqrt(x²+x²u²) | -u:x

u' = sqrt(1+u²)

das x auf der rechten Seite geblieben? Muss ich dann nicht die komplette Wurzel durch x teilen?

Schau mal den Kommentar über deinem an :-)
Da hab ich das erklärt.

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