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Aufgabe:

Beweisen, dass die Integralfunktion umkehrbar ist:\( \int \limits_{3}^{x} f_{2}(t) ~dt \)

4. Gegeben ist die Integralfunktion \( \mathrm{F}: \mathrm{x} \mapsto \mathrm{f}_{2}(\mathrm{t}) \mathrm{dt} \) mit \( \left.\mathrm{x} \in\right] 2 ; \infty[ \).

a) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass \( \mathrm{F} \) umkehrbar ist.

b) Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von \( \mathrm{F} \) und bestätigen Sie dass für die Umkehrfunktion \( \mathrm{F}^{-1} \) gilt: \( \mathrm{F}^{-1}(\mathrm{x})=\sqrt{5 \mathrm{e}^{\mathrm{x}}+4} \)

5. Gegeben ist die Funktion \( \mathrm{h}: \mathrm{x} \mapsto \frac{1}{\mathrm{x}-2} \) mit \( \mathrm{x} \in[0 ; 2[. \) Thr Graph wird mit \( \mathrm{G}_{\mathrm{h}} \) bezeichnet.

a) Weisen Sie nach, dass für \( 0 \leq x<2 \) gilt: \( h(x)<f_{2}(x) \)

b) Im vierten Quadranten liegt zwischen den Graphen \( \mathrm{G}_{2} \) und \( \mathrm{G}_{\mathrm{h}} \) ein Flächenstück. Zeigen Sie, dass dieses einen endlichen Inhalt besitzt, und geben Sie ihn an.

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1 Antwort

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Hallo.

4a. ergibt sich daraus, dass f2  positiv ist.

4b. löse x=ln(y2-4)-ln(5) nach x auf, beachte Vorzeichen.

5a. Benutze 0<(2x)/(x+1)<1 und die dritte binomische Formel.

5b. \int _{ 0 }^{ 2 }{ f_{ 2 }(x)-g(x)dx }=ln(4)-ln(2)=ln(2)

 

Hzl.Grüße.

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Woher weiss man, dass f2( t) positiv ist?

Versteh ich nicht.. SIe ist streng monoton steigen und deshalb umkehrbar? Woher will man das den wissen? man weis ja nicht wie f2(t) aussieht. Ausserdem, woher kommt das t ? Fü was steht das in meinem Greaphen. Ich versteh nur Bahnhof. ...

Der Aufgabensteller kennt f2, die anderen erschließen es sich aus dem Rest der Aufgabe (F-1).

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