Beweis der Abzählbarkeit der Menge der Funktionen n ∈ N → an ∈ N0 mit ∃n0 ∈ N ∀ n ≥ n0, an = 0

Question

Hallo

Ich haette eine Frage, und zwar - wie koennte man beweisen, dass die Menge der Funktionen n ∈ N → an ∈ N₀ die die Eigenschaft ∃n₀ ∈ N ∀ n ≥ n₀, a_n = 0 haben abzaehlbar ist?

Soweit ich weiss kann man die Primfaktorzerlegung der natuerlichen Zahlen verwenden, aber ich dachte dass es vielleicht besser waere, die Existenz einer Bijektion zw. den X und Y Mengen zu beweisen mithilfe der Tatsache, dass N^k und N gleichmaechtig sind. (N bedeutet hier die Menge der natuerlichen Zahlen, ich konnte nur das Zeichen dafuer nicht kopieren)

Bitte helfen Sie mir, die Lösung dazu zu formulieren!

Danke vielmals!

Answer 1

Es geht also um Folgen, die von einer bestimmten Stelle n_o an nur noch aus 0-en

bestehen, diese sind also identifizierbar mit den Tupeln natürlicher Zahlen mit  n_o -

Komponenten, also mit N_o^k und wie du schriebst, ist klar, dass es davon nurhöchstens abzählbar viele gibt.

Dann kannst du die Menge M all dieser Folgen darstellen als Vereinigung von

M = F1  ∪ F2  ∪ F3  ∪ F4 ∪ .....     bzw.

$$ M =  \bigcup _{ i\epsilon { N }_{ 0 } }^{  }{ { F }_{ i } } $$

und dabei ist F_i die Menge der Folgen, die von der i-ten Stelle

an nur aus 0-en bestehen, also

F_i = Menge der Funktionen n ∈ N → an ∈ N₀ , die die Eigenschaft  ∀ n ≥ i, a_n = 0 haben.

Und jede der von dir zu betrachtenden Funktionen (Folgen) gehört ja  nach Vor. zu einer

dieser Mengen. M ist also eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen, also


selber abzählbar.

Comments

Ich danke Ihnen herzlich! Das hat wirklich geholfen, und jetzt glaube ich, das ich besser verstehe, worum es bei solchen Beweisen geht!

Vielen dank für Ihre Erklaerung! Haben eine schoene Woche! :)