Aufgabe:
Ein Goldschmied möchte eine neue Schmuckform in seine Kollektion aufnehmen. Ein Entwurf zeigt die Designvorlage für eine Brosche (Material 1).
Die Trennlinie, die den Kreis in zwei gleich große Teile teilt, kann durch eine Funktion dritten Grades beschrieben werden (Angaben in Zentimetern).
(Die Funktion lautet f(x) = 2/9x^3 - 8/9x)
Bei einer zweiten Variante der Brosche wird zusätzlich zu der durch f gegebenen Linie eine zweite Linie angebracht, die durch eine Funktion g mit g(x) = a • f(x), a ≥ 1 beschrieben werden kann.
Bestimmen Sie den Faktor a so, dass der schraffierte Flächeninhalt 1,6 cm^2 beträgt.
(Schraffiert ist die Fläche zwischen den Graphen)
Problem/Ansatz:
Mein Ergebnis ist falsch und ich kann nicht ganz nachvollziehen warum, bzw. verstehe ich die Musterlösung nicht.
Die Funktionen haben drei Schnittpunkte.
(-2 | 0), (0 | 0), (0 | 2)
Habe dementsprechend die Intervallgrenzen gesetzt.
In der Musterlösung wird jeglich von -2 bis 0 integriert und das mit 0,8 m^2 gleichgesetzt, das verstehe ich soweit noch.
Als Differenzfunktion h(x) habe ich bloß -a (gerechnet habe ich f(x) - g(x)). Da g(x) ja eigentlich identisch mit f(x) ist und bloß der Parameter a vorangestellt ist, dachte ich, dass demnach auch nur a übrig bleibt, wenn man die beiden subtrahiert?
Meine Stammfunktion ist daraufhin -ax.
Durch
|H(0) - H(-2)| + |H(2) - H(0)| = 1,6
bin ich am Ende auf 1,6 = 4a und letztendlich dann auf a = 2/5 gekommen.
In der Musterlösung beträgt a = 1,9.
Aus g(x) - f(x) ergibt sich (a-1)*f(x)
Diesen Schritt verstehe ich nicht.
Im Schritt danach wird das Integral von -2 bis 0 von f(x) berechnet und dieses Ergebnis mit (a-1) multipliziert.
Das habe ich noch weniger verstanden.
Kann mir jemand die Aufgabe ein wenig ausführlicher erklären? Schreibe morgen mein Mathe-Abi :)
Vielen Dank im Voraus!
