Reihe auf Konvergenz / Divergenz untersuchen: Summe von (-1)^k (1 - k^k/(k+1)^k)

Question

man soll diese Reihe auf Konvergenz/Divergenz untersuchen

Leibnitz-Kriterium ist nicht anwendbar, da keine Nullfolge.

Wolframalpha sagt allerdings, dass diese Folge divergent ist, wo ist denn mein Fehler?

Comments

Der gesamte Term ist also immer <1 muss, also konvergent, so muss das heißen!

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Du musst die Sache mit der Eulerschen Folge mal nachschlagen: \(k^k/(k+1)^k\to1/e\).

Answer 1

Du weißt doch, dass die zugrunde liegende Folge keine Nullfolge ist. Also ist die Reihe divergent. Fertig!!!

Comments

Naja, aber sollte ich ja mit irgendwelchen argumenten beweisen. Das kann ich ja nur mit den Kriterien für Konvergenz also: Majorantenkr., Minorantenkr., Leibnitzkr., Quotientenkr. oder eben Wurzelkr..

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Hallo Johnny,

das erste Kriterium, das erfüllt sein muss, ist das die zugrunde liegende Folge eine Nullfolge ist. Ist sie keine Nullfolge, dann ist die Reihe divergent. Es handelt sich also um ein Divergenzkriterium. Ich glaube nicht, dass du mit den anderen an das Ziel kommst und warum einen abbrechen, wenn es auch einfach geht.

Gruß Woodoo

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Ok vielen Dank erstmal, aber wie genau zeige ich das jetzt? Denn allein vom sehen, kann ich das ja nicht sagen. Oder reicht da meine Erklärung schon, die ich oben abgeliefert habe, sodass es keine Nullfolge ist?

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Hallo Johnny,im Prinzip ja, du solltest Dir aber nco ein wenig mehr Gedanken machen:$$ \lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| 1-\frac { { k }^{ k } }{ { (k+1) }^{ k } }  \right|  } =\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| 1-\frac { 1 }{ \frac { { (k+1) }^{ k } }{ { k }^{ k } }  }  \right|  } =\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| 1-\frac { 1 }{ { (1+\frac { 1 }{ k } )^{ k } } }  \right|  } =1-\frac { 1 }{ e }  $$GrußWoodoo

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Ai dafür hatte ich ja gar kein Auge!! Danke dir vielmals ;-)