Berechnen Sie die Grenzwerte (i) lim n→∞ (2n^3-1)/(2-n)^3

Question

(i) lim n→∞ (2n^3-1)/(2-n)^3     (ii) ∑∞_k=2       (-1)^k ((3^{k+1})/(4^k))

Bei der (i) habe ich als Grenzwert 1/2, ist dies korrekt ? Wie gehe ich bei (ii) vor ? Ich bedanke mich schon im Voraus für Eure Hilfe.

Comments

Bei (i) habe ich -2.

Was hast du denn gerechnet?

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Hier einmal der Rechengang für (i) mit L´Hospital

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Habe jetzt auch -2, zuerst habe ich durch n^3 geteilt und dann gesehen das der Zähler gegen 2 und Nenner gegen -1 geht.

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je1155: Ja. Das habe ich auch so (mit kürzen) gemacht.

georgborn hat mit Hospital das Auflösen der Klammer im Nenner umschiffen können.

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Hallo Lu,

genau. Da war ich zu faul zu.

mfg Georg

Answer 1

Bei (i) kommt wohl eher 2 heraus: Zähler 2n³-1
                                                              Nenner n³-12n+3n²-8
Für n→∞ wird er Zähler schließlich doppelt so groß, wie der Nenner.
 Die Summe (ich nehme an, k geht von 1 bis ∞) bei (ii) ist alternierend. Fasse also immer zwei aufeinanderfolgende Glieder zusammen. Dann siehst du möglicherweise besser, was der Grenzwert sein könnte.

Answer 2

(ii) ∑∞_k=2       (-1)^k ((3^k+1)/(4^k))

= 3* ∑∞_k=2       (-1)^k ((3^k)/(4^k))

= 3* ∑∞_k=2       (-3/4)^k 

Summe ist geometrische Reihe mit q = -3/4 und a1 = (-3/4)^2

= 3* (-3/4)^2 * (1 / ( 1 -(-3/4)) 

= 3 * 9/16 * 1 / (7/4) 

= 3 * 9/16 * 4/7

= 27 / 28  

Bitte selber nachrechnen und allenfalls korrigieren.