Sei A ∈ Mat(n,n,K) eine hermitesche Matrix und seien δk, k=1,..,n, ihre führenden Hauptminoren.Die Matrix A ist negativ definit genau dann, wenn δi< 0 für alle ungeraden i und δi>0 für alle geraden i gilt. Ich soll das beweisen, könnte mir einer erklären wie ich hier vorgehen muss?
Hi,eine hermitesche Matrix ist positiv definit, wenn alle führenden Hauptminoren positiv sind. Eine Matrix ist negativ definit, wenn \( -A \) positiv defnit ist. Da für jede quadratische Matrix \( B \) gilt $$ \det(-B) = (-1)^n \det(B) $$ folgt \( -A \) ist positiv definit, wenn alle führenden Hauptminoren ungerader Dimension \( < 0 \) sind und alle führenden Hauptminoren gerader Dimension \( > 0 \) sind.
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