Matrix mit sin(x) und cos(x) quadrieren und mit 10 potenzieren...

Question

habe mal eine Frage.

Ich habe folgende Matrix:

$$A = \begin{pmatrix} cos(x) & -sin(x)\quad  & 0 \\ sin(x) & cos(x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Diese soll ich einmal quadrieren und einmal mit 10 ptenzieren Ich habe jetzt für das Quadrat folgendes raus:

$$A^2 = \begin{pmatrix} cos(2x) & -sin(2x)\quad  & 0 \\ sin(2x) & cos(2x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Erstmal: Ist das soweit richtig? 
Wie mache ich jetzt weiter? Ich habe nicht zufällig soviel Glück, dass ich die 2 einfach durch eine 10 ersetzen kann? :D Hab zwar schon A²*A² gerechnet aber naja... So weiter zu machen ist ja schon etwas umständlich...

für eure Hilfe.

Answer 1

bei deiner Matrix handelt es sich um eine Rotationsmatrix um die z-Achse.

Das bedeutet, ein Vektor welcher mit der Matrix multipliziert wird, wird um den Winkel x um die z-Achse gedreht.

n-faches anwenden der Matrix entspricht also genau einer Drehung um den Winkel n*x.

Das kann man mithilfe von Induktion und den Additionstheoremen zeigen.

Der Beweis dazu wurde hier schonmal erstellt, deshalb gebe ich dir den Link dazu:

https://www.mathelounge.de/278441/drehmatrix-hoch-n-formel-beweisen