Gleichung lösen: x^{log_2(x)}+16*x^{-log_2(x)}=17

Question

ich soll folgende Gleichung lösen:

$$x^{log_2(x)}+16*x^{-log_2(x)}=17$$

Aber irgendwie fehlt mir da ein Grundlegender Schritt.

aus $$x^{log_2(x)}$$ kann ich ja $$e^{x*ln(log_2(x))}$$ machen.

$$x^{-log_2(x)}$$ kann ich ja $$e^{x*ln(-log_2(x))}$$ machen.

Nur irgendwie komme ich nicht so richtig weiter.

Ein wink in die richtige Richtung wäre toll.

Answer 1

x^{log2[x]}+16*x^{-log2[x]})=17

substituiere z=x^{log2[x]}

--> z+16/z=17

z^2+16=17z

z^2-17z+16=0

--> z=1 und z=16

für z=1 ergibt sich 1=x^{log2[x]}=e^{ln[x]*log2[x]} --> ln[x]*log2[x]=0 --> x=1

für z=16 ergibt sich 16=e^{ln[x]*log2[x]}

ln(16)=ln[x]*log2[x]

ln(16)=ln(x)*ln(x)/ln(2)

ln(16)*ln(2)=ln(x)^2

√ln(16)*ln(2)=±ln(x)

e^{√ln(16)*ln(2)}=x^{±1}

4=x

bzw. 4=1/x --> x=1/4