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Für welche Werte gilt die Ungleichung cos(α+β) ≠ cos(α) + cos(β) nicht?

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Für welche Werte gilt die Ungleichung cos(α+β) ≠ cos(α) + cos(β) nicht?

Ich wollte mir das Additionstheorem für Kosinus zur Hilfe nehmen mit: cos(α+β) = cos(α)*cos(β) - sin(α)*sin(β) komme jedoch dabei nicht wirklich weiter...

Freu mich über Hilfe!

Gefragt 17 Jun 2012 von leo91

1 Antwort

+1 Punkt
 
Beste Antwort

Puh, das ist ne harte Nuss.

 

Bei solchen Aufgaben ist es typisch, dass man nur Aussagen über die Existenz und Mächtigkeit der Lösungsmenge trifft, allerdings muss ich mal gucken, wie sich der Post entwickelt, vielleicht kann ich sogar tatsächlich eine explizite Lösung angeben.

 

Gesucht sind Paare (a,b), die die Zwangsbedingung F(a,b)=cos(a+b)-cos(a)-cos(b)=0 identisch erfüllen.

Da der Cosinus beliebig oft stetig differenzierbar ist, ist es auch F(a,b) und es gibt nach dem Satz über implizite Funktionen eine Parametrisierung der Lösungsmenge L={(a,b(a))}.
Wenn wir erstmal ein Paar (a0, b0) gefunden haben, dass die Zwangsbedingung erfüllt, so finden wir beliebig viele andere über das totale Differential von F, das ebenfalls identisch 0 sein muss:
 

dF/da+dF/db*db/da = 0 (*)

wobei db/da die gesuchte Ableitung der Funktion b(a) ist. Daraus lässt sich dann eine Differentialgleichung für b(a) gewinnen, die mit der Anfangsbedingung b(a0)=b0 zumindest numerisch gelöst werden kann.

Setzt man F in (*) ein, so folgt:
-sin(a+b)+sin(a)+(-sin(a+b)+sin(b))*b'(a)=0

Auflösen nach b'(a) ergibt:

b'(a) = (sin(a)-sin(a+b(a)))/(-sin(b(a))+sin(a+b(a)))

Daran sieht man schon, dass das ganze numerisch nicht lösbar sein wird: die Differentialgleichung führt auf sogenannte elliptische Integrale, da die Ableitung von b sich aus dem Sinus von b ergeben muss; das ist im Allgemeinen algebraisch nicht lösbar.

Jetzt kann man, wenn eine Lösung bekannt ist, über eine Diskretisierung der unabhängigen Variablen a in kleine Teilschritte eine Näherung der Lösung berechnen, allerdings erfordert das einigen Rechenaufwand und müsste eigens programmiert werden.


Ich hoffe du erkennst aber, dass das theoretisch möglich ist. Ausgehend von einem Punkt (a0, b0) kann jetzt eine lineare Näherung vorgenommen werden und der nächste Punkt (in der Diskretisierung da=τ) ist:

(a1, b1)=(a0+τ, b0+τ*(sin(a0)-sin(a0+b0))/(-sin(b0)+sin(a0+b0)))

 

Glücklicherweise gibt es im Internet ausreichend mächtige Rechenmaschinen, die solche Algorithmen bereits vorprogrammiert haben, so zum Beispiel http://www.wolframalpha.com/.

Gibt man die Aufgabe dort ein, so erkennt man tatsächlich eine elliptische Lösungsmenge, wobei es offensichtlich sogar auch algebraische Ausdrücke für die Lösungen gibt. Wie die berechnet wurden, weiß ich nicht, ganz unten findest du aber auch die implizite Angabe für b'(a), die ich oben berechnet habe. Im Zweifel gibts da irgendwelche Tricks, die ich nicht kenne. :)

Beantwortet 17 Jun 2012 von Julian Mi Experte X
Falls du irgendwas nicht verstehst: Frag nach. Ich hab das ganze jetzt in etwa auf Universitätsniveau erklärt, mit ein paar umgangssprachlichen Variationen, die nur daran liegen, dass ich mir das selbst so erkläre.
Die Aufgabe ist schwierig, also kann man nicht erwarten, dass das Lösungsverfahren einfach ist. :)

Sehr schöne Erklärung. +1 Daumen hoch

Hier noch der Link für Interessierte zu Wolframalpha für cos(α+β) = cos(α) + cos(β)

Der Plot der Gleichung (nicht die Ungleichung):
plot cos a+b gleich cos a plus cos b

 

Und einer von 4 Lösungsvorschlägen für die Gleichung cos(α+β) = cos(α) + cos(β) (Quelle: WolframAlpha):

Lösungsvorschlag Beta

 

 

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