Aufgabe:
Berechnung des Integrales der Bogenlänge über Polynomgleichungen am Beispiel der Ellipse
Problem/Ansatz:
Bogenlänge: Integral (1+f'(x)^2)^(1/2) dx
Ellipse x^2/64+y^2/25=1, mit a=8, b=5, Halbachsen
y=+-5*(1-x^2/64)^0.5 Vereinfachung für die Bogenlänge: y=2*5/8*(8-x)^0.5*(8+x)^0.5=5/4*yinv1*yinv2
y1=-x^2+8 y2=x^2-8 y1=-y2 yinv=inverse Funktion y=5/4*(-(yinv)^2)
die modifizierte Integrationsgrenze ist x=8^(1/2)
siehe: http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Ellipse.html
mittleres Beispiel....
Berechnung:
Integral (1+f'(x)^2)^(1/2) dx = Fges = (1+f'(x)^2)^(1/2), mit F1=1 und F2=f'(x), siehe:
http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Schwingungen.html
unteres Beispiel
Integral Fgesdlk=Integral F1dl2+Integral F2dl1
F1=1 und F2=5*(x^3-8x) = yinv'
Fges=(F1^2+F2^2)^(1/2)=(1^2+(5*(x^3-8x))^2)^(1/2)
l1=Integral F1(x) dx / F1(x)=x/1=x, Energiebilanz....
l2=Integral F2(x) dx / F2(x)=-(5*(x^2-8)^2)*1/4*1/(5*(x^3-8x))=(-8+x^2)/(4x)
lk=(l1^2+l2^2)^(1/2)=(x^2+((x^2-8)/4x)^2)^(1/2)=1/4*((17x^4-16x^2+64)/x^2)^(1/2)
Integral Fgesdlk=Integral F1dl2+Integral F2dl1
(1^2+(5*(x^3-8x))^2)^(1/2)*lk=1*l2+5(x^3-8x)*l1=(x^2-8)*(20x^2+1)/(4x)
Probe für x=10: 47201 ist fast 46002, hier ergab sich eine Ungenauigkeit, die ich nicht erklären kann....
F1<F2<Fges für x=8^(1/2), daraus folgt siehe letzten Link oben...., F1/Fges=1/(5(x^3-8x))=k 1/k=g
k^2+a^2=g^2 a=(1/k^2-k^2)^(1/2)=(25*(x^3-8x)^2-1/(25*(x^3-8x)^2))^(1/2)
Integral Fges dlk=Eges*a Eges=1/a*Fges*lk
Energiebilanz siehe Link: http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Bewegungsenergie.html
oberes Beispiel: Fgesucht=Eges/l, denn E1*E2=C1*C2
l=l2=(x^2-8)/(4x), Eges*/l2=Fgesucht=die gesuchte Bogenlänge der Ellipse für x=8^(1/2)
ich erhalte für Fgesucht=39,6383 bei x=(8,095)^(1/2) und das ist dann ungenau.....
mein Fehler ist schon bei der Proberechnung mit x=10 zu suchen, ich habe Ihn nicht gefunden, wäre schön, sollte man mir da helfen können, Dankeschön!
