Wie groß ist die Brechzahl des eingefüllten Gases bei Normaldruck (p0 = 1013, 25mbar)?

Question

Aufgabe:

In einem Arm eines Mach-Zehnder-Interferometers befindet sich ein Rohr mit ebenen Glasfenstern an den Enden zum Ein- und Austritt des Lichts (Länge zwischen den inneren Glasoberflächen: L = 40cm). Das Interferometer wird mit den parallelen Strahlen eines Helium-Neon-Lasers betrieben (λ = 632nm), die am Ausgang leicht gegeneinander verkippt sind, damit ein paralleles Interferenzstreifenmuster entsteht.

Anfangs ist das Rohr ausgepumpt (Vakuum! Druckanzeige am Rohr: p1 < 0,01 mbar). Wenn dann langsam Gas ins Rohr eingelassen wird, verschieben sich die Interferenzstreifen. Als sich das Muster um genau 140,0 Interferenzstreifen verschoben hat, wird am Rohr der Druck p2 = 1700 mbar angezeigt.

Wie groß ist die Brechzahl des eingefüllten Gases bei Normaldruck (p0 = 1013,25 mbar)?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Brechzahl Bestimmung des Gases

Um die Brechzahl (\(n\)) des Gases bei Normaldruck zu bestimmen, verwenden wir die Information, dass die Verschiebung von 140,0 Interferenzstreifen der Druckerhöhung von nahezu 0 mbar (Vakuum) auf 1700 mbar entspricht. Folgende Grundlagen und Formeln werden dabei verwendet:

1. Die Verschiebung von Interferenzstreifen (\(\Delta m\)) kann mit der Änderung des optischen Weges in Zusammenhang gebracht werden, wobei \(\Delta m = \frac{\Delta L}{\lambda}\).

2. Die Änderung des optischen Weges (\(\Delta L\)) ergibt sich aus der Länge des Rohres (\(L\)) multipliziert mit der Änderung der Brechzahl (\(\Delta n\)).

3. Die Brechzahl eines Gases bei einem bestimmten Druck (\(p\)) kann in Verbindung mit der Brechzahl bei einem anderen Druck mit der Formel
\(n = 1 + (n_2 - n_1)\frac{p}{p_2 - p_1}\)
ausgedrückt werden, wobei \(n_1\) und \(n_2\) die Brechzahlen bei den Drücken \(p_1\) und \(p_2\) sind. Für Gase bei Drücken um Normaldruck herum kann man eine lineare Beziehung zwischen Druck und Brechzahl annehmen.

Da \(p_1\) sehr klein ist und einem Vakuum entspricht, können wir \(n_1 \approx 1\) setzen, da die Brechzahl von Vakuum als 1 angesehen wird.

Gegeben:
- \(L = 40\) cm = \(0,4\) m
- \(\lambda = 632\) nm = \(632 \times 10^{-9}\) m
- Verschiebung der Interferenzstreifen: \(\Delta m = 140,0\)
- Druck \(p_2 = 1700\) mbar
- Normaldruck \(p_0 = 1013,25\) mbar

Berechnung:
1. Zuerst berechnen wir die Änderung der Brechzahl (\(\Delta n\)) von Vakuum zu \(p_2\):

\( \Delta m = \frac{\Delta L}{\lambda} = \frac{L \Delta n}{\lambda} \)

Umstellen nach \(\Delta n\):

\( \Delta n = \frac{\Delta m \lambda}{L} \)

2. Einsetzen der gegebenen Werte ergibt:

\( \Delta n = \frac{140,0 \times 632 \times 10^{-9}\,\text{m}}{0,4\,\text{m}} \)

\( \Delta n = 0,000221 \)

3. Berechnung der Brechzahl (\(n_0\)) bei Normaldruck (\(p_0\)) unter Verwendung der ermittelten Änderung der Brechzahl (\(\Delta n\)):

Da \(n_1 \approx 1\) (bei \(p_1 = 0\)), können wir die Formel anpassen:

\( n_0 = 1 + (n_2 - 1)\frac{p_0}{p_2} \)

Wobei \(n_2 = 1 + \Delta n\), also:

\( n_0 = 1 + \Delta n \frac{p_0}{p_2} \)

4. Einsetzen der Werte führt zu:

\( n_0 = 1 + 0,000221 \frac{1013,25}{1700} \)

\( n_0 = 1 + 0,000221 \times \frac{1013,25}{1700} \)

\( n_0 \approx 1 + 0,000131 \)

\( n_0 \approx 1,000131 \)

Die Brechzahl des Gases bei Normaldruck (\(p_0 = 1013,25\) mbar) beträgt somit ca. \(1,000131\).