Würde mich über Kontrolle freuen: Projektionen und Abbildungsmatrizen

Question

Aufgabe:

Für zwei Vektoren x, y ∈ Rⁿ sei mit ⟨x|y⟩ das Standardskalarprodukt bezeichnet. Die Notation |x⟩⟨y| bezeichne die quadratische Matrix, die man erhält, wenn man x als Spaltenvektor mit y als Zeilenvektor multipliziert. Zeigen oder widerlegen Sie:
a) Für jedes x ∈ Rⁿ ist |x⟩⟨x| die Abbildungsmatrix einer Projektion.
b) Die Abbildungsmatrix jeder Projektion Rⁿ → Rⁿ hat die Form |x⟩⟨x| für ein bestimmtes x ∈ Rⁿ.
c) Ist {b₁, . . . , b_n} eine ONB von R_n, so gilt \( \sum\limits_{k=1}^{n}{|bk⟩⟨bk|} \)=I_n.

Problem/Ansatz:

Könnte bitte jemand meine Lösungen kontrollieren? Ich bin mir sehr unsicher.

a): Ich glaube, dass das stimmt. Wenn ich sage h(x)=Ax mit A=|x⟩⟨x| und den Einheitsvektoren als Basis, dann ist die Abbildungsmatrix wieder A, oder?

b) Das ist aber glaube ich falsch. Gegenbeispiel: h(x)=Ax mit A=\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \).

c) Ist auch falsch. Wenn man in R² \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) multipliziert, dann bekommt man ja \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) .

Answer 1

a) Nein. h(x)=Ax mit A=|x⟩⟨x| geht nicht, weil dann A von x abhängig wäre und damit h keine lin. Abb. In Deinem Nachweis steht auch nichts von Projektion.

b) Nein. Wenn Du das widerlegen willst, musst Du - siehe Aussage eine konkrete Projektion angeben.

c) Nein. Das Produkt \(\binom10\) mit \(\binom01\) kommt in der Summe gar nicht vor.

Generell: lies die Aussagen sorgfältig, mach Dir die logische Struktur klar und wiederhole Aussagenlogik (insb. Negationen).