Zeigen Sie, dass K[X] ein Ring ist.

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Wir definieren den Ring der formalen
Potenzreihen
\( K \llbracket X \rrbracket:=\left\{f=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} X^{k} \mid a_{k} \in K\right\} \)
mit der Addition
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} X^{k}+\sum \limits_{k=0}^{\infty} b_{k} X^{k}:=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right) X^{k} \)
und der Multiplikation
\( \left(\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{n} X^{n}\right) \cdot\left(\sum \limits_{k=0}^{\infty} b_{n} X^{n}\right):=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\sum \limits_{i+j=k} a_{i} \cdot b_{j}\right) X^{k} . \)

Sei \( 0 \neq f=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} X^{k} \), dann definieren wir
\( \operatorname{ord}(f):=\min \left\{k \mid a_{k} \neq 0\right\} . \)

Wir setzen weiterhin \( \operatorname{ord}(0)=\infty \).
1. Zeigen Sie, dass \( K[X] \) ein Ring ist.
2. Seien \( f, g \in K \llbracket X \rrbracket \). Zeigen Sie, dass ord \( (f \cdot g)=\operatorname{ord}(f)+\operatorname{ord}(g) \).
3. Zeigen Sie, dass \( 1-X \) in \( K \llbracket X \rrbracket \) invertierbar ist.

Answer 1

zu 3. vielleicht so:

\( f=\sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k})  \) und 1 existiert ja in jedem Körper K.

Dann gilt: \( (1-x) \dot f =1 \cdot \sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k}) - x \cdot \sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k}) \)

\( = \sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k}) -  \sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k+1}) \)

\( =1 +  \sum \limits_{k=1}^{\infty} (1 \cdot X^{k}) - \sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k+1}) \)

\( =1 +  \sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k+1}) - \sum \limits_{k=0}^{\infty} (1 \cdot X^{k+1}) = 1\)

Also ist f das Inverse von 1-x.