Wie schnell sind Sie im Durchschnitt gelaufen?

Question

Sie sind leidenschaftliche(r) Jogger(in) und stellen ein paar Berechnungen an:
a) Nach einer halben Stunde mit einer Geschwindigkeit von \( 9 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) haben Sie die letzten 20 Minuten Ihre Geschwindigkeit auf \( 12 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) erhöht. Wie schnell sind Sie im Durchschnitt gelaufen?
b) Eine andere Joggingstrecke schließt im mittleren Abschnitt recht hügeliges Gelände ein. Daher sind Sie die ersten 3 und die letzten 2 Kilometer mit einer Geschwindigkeit von \( 11 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) gelaufen, auf den mittleren 5 Kilometern jedoch nur \( 9 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \). Wie schnell sind Sie im Mittel gelaufen?
c) Dank des kontinuierlichen Trainings haben Sie die für Ihre Joggingstrecke benötigte Zeit in den letzten drei Jahren um \( 12 \% \), \( 9 \% \) und \( 4 \% \) senken können. Wie hoch war Ihre mittlere jährliche prozentuale Verbesserung?

Ich habe folgende Lösungen, die aber mit dem im Lösungsbuch nicht übereinstimmen.

a) Über harmonisches Mittel:

H = 2/(1/9 + 1/12) = 10,29 km/h -> falsch, richtige Lösung: 10,2 km/h

b) Über Harmonisches Mittel:

H2 = 3/(1/11 + 1/11 + 1/9) = 10,24 km/h -> falsch, richtige Lösung: 9,9 km/h

c) über Geometrisches Mittel:

G = dritte Wurzel - √(0,88 * 0,91 * 0,96) = 1,205 -> falsch, richtige Lösung: 8,4%

Answer 1

a) Nach einer halben Stunde mit einer Geschwindigkeit von 9 km/h haben Sie die letzten 20 Minuten Ihre Geschwindigkeit auf 12 km/h erhöht. Wie schnell sind Sie im Durchschnitt gelaufen?

((9 km/h)·(0.5 h) + (12 km/h)·(1/3 h)) / (0.5 h + 1/3 h) = 10.2 km/h

b) Eine andere Joggingstrecke schließt im mittleren Abschnitt recht hügeliges Gelände ein. Daher sind Sie die ersten 3 und die letzten 2 Kilometer mit einer Geschwindigkeit von 11 km/h gelaufen, auf den mittleren 5 Kilometern jedoch nur 9 km/h. Wie schnell sind Sie im Mittel gelaufen?

(3 km + 5 km + 2 km)/(3 km/(11 km/h) + 5 km/(9 km/h) + 2 km/(11 km/h)) = 9.9 km/h

c) Dank des kontinuierlichen Trainings haben Sie die für Ihre Joggingstrecke benötigte Zeit in den letzten drei Jahren um 12%, 9% und 4% senken können. Wie hoch war Ihre mittlere jährliche prozentuale Verbesserung?

1·(1 - 0.12)·(1 - 0.09)·(1 - 0.04) = 1·(1 - p)^3 → p = 0.0839 = 8.39%

Answer 2

a) Berechne die insgesamt zurückgelegte Strecke und dividiere durch die benötigte Zeit.

b) Das ist falsch. Du brauchst hier das gewichtete harmonische Mittel. Also Gesamtstrecke im Zähler und dann im Nenner jeweils Strecke durch Geschwindigkeit.

c) Keine Ahnung, wie du da auf 1,205 kommst. Aber der Ansatz stimmt. Rechne das nochmal nach. Bedenke, dass du das Ergebnis dann noch von 1 abziehen musst.

Comments

wieso von 1 abziehen?

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Weil du ja die Verbesserung berechnen möchtest. Die beträgt mit Sicherheit nicht 0,916 = 91,6 %.

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wieso von 1 abziehen?

Diese Rückfrage kommt definitiv zu schnell, um ernsthaft darüber nachgedacht zu haben.

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Selbstverständlich. :) Interessanterweise wurde das bei der Berechnung des geometrischen Mittels berücksichtigt. Aber ob das verstanden wurde?

Answer 3

Dein Problem ist, dass du ohne größeres Nachdenken versuchst, Sachverhalte in Formeln zu pressen, die EVENTUELL zum Sachverhalt passen könnten.

Nach einer halben Stunde mit einer Geschwindigkeit von \( 9 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) haben Sie

offensichtlich 4,5 km zurückgelegt.

die letzten 20 Minuten Ihre Geschwindigkeit auf \( 12 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) erhöht.

Damit wurden in diesen 20 Minuten also 4 km zurückgelegt.

Fazit: In 50 min (das sind 5/6 Stunden) wurden insgesamt 4,5 km + 4 km = 8,5 km zurückgelegt. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist somit \( \frac{8,5 km }{ \frac{5}{6}h} =10,2 km/h.\)