Das sind ja quasi 2 Behauptungen, unterschieden nach
geradem und ungeradem n.
Falls bei euch 0∉ℕ müsste man für die geraden also mit n=2 beginnen und hat
\( \sum \limits_{k=1}^{2 \cdot 2} i^{k} k= i \cdot 1 + (-1) \cdot 2 +(-i) \cdot 3 +1 \cdot 4 \)
\( = 2 - 2i = 2 \cdot (1 - i) = n \cdot (1 - i) \) wegen n=2.
Und für n=1 ist es
\( \sum \limits_{k=1}^{2 \cdot 1} i^{k} k= i \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = -2 + i = -(1+1) + 1 \cdot i \)
\( = -( n+1) + n \cdot i \) wegen n=1.
Das passt also .
Für den Induktionsschritt unterscheide wieder die Fälle n gerade und n ungerade:
1. n gerade. Dann gilt \( \sum \limits_{k=1}^{2 n} i^{k} k= n(1-i) \)
Also für n+1: \( \sum \limits_{k=1}^{2 (n+1)} i^{k} k= \sum \limits_{k=1}^{2n+2} i^{k} k\)
\( = \sum \limits_{k=1}^{2 n} i^{k} k + i^{2n+1}\cdot (2n+1) + i^{2n+2}\cdot (2n+2) \)
Jetzt Ind.annahme einsetzen und umformen
\( = n(1-i) + i^{2n+1}\cdot (2n+1) + i^{2n+2}\cdot (2n+2) \)
\( = n(1-i) + i^{2n}\cdot i \cdot (2n+1) + i^{2n}\cdot i^2 \cdot (2n+2) \)
\( = n(1-i) + i^{2n}\cdot (2ni+i) + i^{2n}\cdot (-2n-2) \)
\( = n-ni + i^{2n}\cdot (2ni+i-2n-2) \)
Da n gerade ist, ist 2n durch 4 teilbar, also \( i^{2n} = 1 \)
\( = n-ni + 2ni+i-2n-2 = -n-2 +ni+i = -(n+2) + (n+1)i\)
Und weil n+1 ja ungerade ist, ist dies auch das Ergebnis, was für n+1
entstehen muss.
Ähnlich auch für ungerades n die Gültigkeit für n+1 zeigen !
