Da kommt es ja nur 0 raus, oder wie berechnet man das

Question

Text erkannt:

6. Sei $X$ eine Zufallsvariable mit der folgenden Dichtefunktion
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a+b x^{2} & \text { falls } 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text { sonst. } \end{array}\right.$
- Bestimmen Sie $a$ und $b$ unter der Annahme, dass $\mathbb{E}(X)=3 / 5$.
- Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion $F(x)$ der Zufallsvariablen $X$.
- Bestimmen Sie $P(0 \leq X \leq 1 / 2)$.

Aufgabe:

Comments

Weißt Du denn, welche Eigenschaften eine Dichtefunktion hat?

Weißt Du denn, mit welcher Formel man den Erwartungswert berechnet, wenn die Dichtefunktion gegeben ist?

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die Wahrscheinlichkeitsdichte muss auf den Gesamtwert $1$ normiert sein:$$1\stackrel!=\int\limits_0^1f(x)\,dx=\int\limits_0^1(a+bx^2)\,dx=\left[ax+b\,\frac{x^3}{3}\right]_{x=0}^1=a+\frac b3\implies 3a+b=3$$und der Erwartungswert soll $\frac35$ sein:$$\frac35\stackrel!=\int\limits_0^1x\,f(x)\,dx=\int\limits_0^1(ax+bx^3)dx=\left[a\,\frac{x^2}{2}+b\,\frac{x^4}{4}\right]_{x=0}^1=\frac a2+\frac b4\implies10a+5b=12$$

Das kleine Gleichungssystem wird gelöst durch$\quad a=\frac35$ und $b=\frac{6}{5}$. Daher ist$$f(x)=\frac35+\frac{6}{5}\,x^2\quad;\quad x\in[0;1]$$

zu b) Hierzu integrieren wir die Dichtefuntkion:$$F(x)=\int\limits_0^xf(t)\,dt=\int\limits_0^x\left(\frac35+\frac65\,t^2\right)dt=\left[\frac35\,t+\frac25\,t^3\right]_{t=0}^x=\frac{x(3+2x^2)}{5}$$

zu c)$\;P\left(0\le X\le\frac12\right)=F\left(\frac12\right)=\frac{7}{20}=35\%$