Zeigen, dass die Abbildung eine translationsinvariante, absolut-homogene Metrik auf X ist

Question

Aufgabe:

Ist \( (X,\|\cdot\|) \) ein normierter Raum, so ist die Abbildung \( d: X^{2} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} \), definiert durch
\( d(x, y)=\|x-y\| \quad \text { für alle } x, y \in X, \)
eine translationsinvariante, absolut-homogene Metrik auf \( X \).

Problem/Ansatz:

Wie kann dies gezeigt werden - habe so gar keinen Plan?

Answer 1

Translationsinvarianz:

\(d(x+z,y+z)=\|(x+z)-(y+z)\|=\|x-y+z-z\|=\|x-y\|=d(x,y)\)

Absolut-Homogenität:

\(d(cx,cy)=\|cx-cy\|=\|c(x-y)\|=|c|\cdot \|x-y\|=|c|\cdot d(x,y)\)