Wie berechnet man das Integral?

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle \int \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} \, dt \) 

mit x(t) = 6tx^2 und y(t) = t^3 - 12

Problem/Ansatz:

Ich habe die Ableitung von x(t) und y(t) gebildet und in das Integral eingesetzt. Wie kann ich weiter berechenen? Kann man hier nicht die Wurzel kürzen?

Comments

Stimmt \(x(t)=6tx^2\). Das klingt wie Unsinn.

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Kann man hier nicht die Wurzel kürzen?

Wie Du meinen?

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Oh das habe ich übersehen. Das ist ein Tippfehler.

6t² sollte es sein.

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Er meint wohl Teilwurzeln ziehen.

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Ich meine kann man die Wurzel nicht entfernen, weil unter der Wurzel 2 als Potenz steht?

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Es steht unter der Wurzel nicht "2 als Potenz", auch keine Potenz mit Exponent 2, sondern eine Summe.

\(\LARGE \sqrt{a^2+b^2} \quad \neq \quad a+b\)

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Nein, weil man aus Summen keine Teilwurzeln ziehen darf.

√(a^2+b^2)  ist NICHT a+b

√(9+16) = √25 = 5 ist NICHT √9 +√16 = 3+5 =7

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Ableitungen bilden:$$x(t)=6t^2\implies\frac{dx}{dt}=12t\quad;\quad y(t)=t^3-12\implies\frac{dy}{dt}=3t^2$$

Dann wird der Integrand zu:$$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=\sqrt{(12t)^2+(3t^2)^2}=\sqrt{144t^2+9t^4}=\sqrt{9t^2(16+t^2)}=3t\sqrt{16+t^2}$$

Das entstehende Integral$$I=\int3t\sqrt{16+t^2}\,dt$$

kannst du mit folgender Substituion lösen:$$u\coloneqq16+t^2\implies\frac{du}{dt}=2t\implies dt=\frac{du}{2t}$$

Einsetzen liefert:$$I=\int3t\sqrt{u}\,\frac{du}{2t}=\frac32\int u^{\frac12}\,du=\frac32\cdot \frac{u^{\frac32}}{\frac32}+C=u^{\frac32}+C=(16+t^2)^{\frac32}+C$$