Berechne die exakte Anzahl der Reiskörner auf dem Schachbrett.

Question

Aufgabe: Bekanntlich hat ein Schachbrett 64 Felder. Auf das erste Feld wird nun ein Reiskorn gelegt, auf das zweite 2 Reiskörner, auf das dritte 4 Reiskörner usw. Auf ein Feld kommt jeweils doppelt soviel wie auf das vorangegeangene.

1. Berechne die exakte Anzahl der Reiskörner auf dem Schachbrett.

2. Wie laute die Antwort, wenn die Anzahl der Reiskörner immer im nächsten Feld verdreifacht wird?

Problem/Ansatz:

1. $$a_n= 1\cdot 2^{n}-1$$

 $$a_64= 1\cdot 2^{64}-1$$

Macht 18. 446.744.039.484.029.952 (18.446.744.073.709.551.615)

2. Wäre das dann $$a_n= 1*3^{n-1}$$?

Comments

2. Wie laute die Antwort, wenn die Anzahl der Reiskörner immer im nächsten Feld verdreifacht wird?

2. Wäre das dann $$a_n= 1*3^{n-1}$$?

Nein - da die Zahl nicht durch \(3\) telbar sein kann. Auf dem ersten liegt \(1\) Korn, auf dem zweiten \(3\) und auf dem dritten \(9\), \(27\), \(81\) usw.. D.h. die Summen sind dann $$a_n = 1,\space 4,\space 13,\space 40,\space 121,\space \dots \\ a_n = \frac{1}{2}(3^{n}-1)$$siehe auch 'geometrische Reihe' (Partialsumme)

Answer 1

Wo hast Du 18. 446.744.039.484.029.952 her?

Kann nicht stimmen weil nach dem 1.Korn/Feld nur gerade Anzahlen dazu kommen, die Summe muss ungrad sein.

\(\sum\limits_{k=0}^{n}2^{k}=2^{n + 1} - 1\)

zum Nachrechnen (meiner Erinnerung nach deckt der Reis dem Erdball 10cm hoch zu)

https://www.geogebra.org/classic#cas

Sum(3^{k},k,0,n)

Numeric(Sum(3^{k},k,0,63),31)

Comments

von einer Seite ma.tum Wintersemester. die Seite lässt sich allerdings nicht mehr öffnen.

Answer 2

1.

2^64 - 1 = 18446744073709551615

2.

Ist

3^0 + 3^1 = 3^2 - 1 ? Wohl nicht also

∑ (x = 0 bis 63) (3^x) = 1716841910146256242328924544640

Für Formeln siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe (Partialsumme)

Answer 3

\(\displaystyle \sum \limits_{n=0}^{63} 2^{n}=18446744073709551615 \)

\(\displaystyle \sum \limits_{n=0}^{63} 3^{n}=1716841910146256242328924544640 \)

Answer 4

1. geometrische Reihe:

a0 =1 , q= 2

Summe = 1*(2^64-1)/(2-1) = 1,84*10^19 = 18,4*10^18 = gut 18 Trillionen

2. 1*(3^64-1)/(3-1) = 1,72*10^30 = ca. 2 Quintillionen

zum Vergleich.

Die Sonne wiegt ca. 2*10^30 kg

Wenn jedes Korn für ein kg steht, kommt man ungefähr auf diese Masse,

Mit 7 Körnern zu Beginn kommt man auf das Gewicht des sichtbaren/baryonischen Kosmos (10^53 kg), der

aus ca. 100 bis 200 Mrd. Galaxien mit je 100 Mrd. Sterne bestehen soll.