Aufgabe:
(a) Seien \( p(y, z) \) und \( q(y, z) \) Polynome in den Variablen \( y, z \) mit reellen Koeffizienten, und sei \( r(y, z):=\frac{p(y, z)}{q(y, z)} \). Wir betrachten das Integral
\( \int r(x, \sqrt{x+1}) \mathrm{d} x \)
Zeigen Sie, dass mit der Substitution \( t=\sqrt{x+1} \), also \( x=t^{2}-1 \), das obige Integral auf die Form
\( \left.\int R(t) \mathrm{d} t\right|_{t=\sqrt{x+1}} \)
gebracht werden kann, wobei \( R \) eine geeignete rationale Funktion ist.
(b) Berechnen Sie das Integral
$$ \int x^{2} \sqrt{x+1} \mathrm{~d} x .$$
Problem/Ansatz:
Bei a) habe ich versucht das einmal einzusetzen und zu substituieren, wie es da steht. Allerdings habe ich dann das da stehen
\( \int \frac{p(t^{2}-1, t)}{q(t^{2}-1,t)}2tdt \)
bei bei b würde ich partiell interessieren und die Wurzel dann substituieren mit der Substitution die in a) gegeben ist. Wäre das ein richtiger Ansatz?