Das ist eine willkürliche Festlegung.
Es ist aber üblich, die Wurzel zunächst nur für natürliche \(n\geq 2\) als Symbol für \(a^{\frac 1n}\) als \(\sqrt[n]{a}\) zu definieren, mit der zusätzlichen Vereinbarung, im Fall \(n=2\) den Wurzelexponenten wegzulassen.
Die Wurzeln sind vor allem im Zusammenhang mit dem Auffinden der Nullstellen von Polynomen entstanden, wo insbesondere das Lösen von Gleichungen der Form \(x^n -a= 0\) eine zentrale Rolle einnimmt.
Im Englischen spricht man zum Beispiel statt von den "zeros" auch von den "roots of a polynomial".
Wenn man unbedingt negative Zahlen oder sogar Brüche oder reelle Zahlen im Wurzelexponenten haben will, hilft das keinem wirklich. Man kann damit nur unnötig überkomplizierte Ausdrücke erzeugen und Schüler und Studenten damit ärgern bzw. verwirren.
