Wie lauten die Gleichungen der Kreise, deren Mittelpunkte M auf der Geraden g: x1-x2=0 liegen und die durch die …

Question

Aufgabe:

Wie lauten die Gleichungen der Kreise, deren Mittelpunkte M auf der Geraden g: x₁-x₂=0 liegen und die durch die Punkte P und Q gehen? P(-7|3) Q(5|-1)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich das machen soll. Ich denke, dass es wahrscheinlich nur ein Kreis ist, aber wenn ich ein Gleichungssystem mit den gegebenen Daten aufstelle, sagt mir das CAS, dass das System nicht linear ist.

Comments

.. aber wenn ich ein Gleichungssystem mit den gegebenen Daten aufstelle, sagt mir das CAS, dass das System nicht linear ist.

Die armen Schüler! Wir hatten es früher viel einfacher. Wir hatten Papier und Bleistift ;-)

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Dazu noch einen Zirkel, Lineal und Winkelmesser (später noch  Geodreieck)

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Dazu noch einen Zirkel, Lineal und Winkelmesser (später noch Geodreieck)

.. auch das ist bei dieser Aufgabe nicht nötigt. Neben dem Bleistift reicht ein Stück kariertes Papier (Lineal wäre hilfreich, braucht es aber nicht). Man muss weder die Kreisgleichung kennen, und man muss auch nicht in der Lage sein, den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen.

Man sollte lediglich Kästchen zählen können, Geraden auf den oben erwähnten Papier zeichnen können und auf den Gedanken kommen, dass die Punkte auf einer Mittelsenkrechten gleich weit von den Endpunkten der zugehörigen Strecke entfernt sind.

Answer 1

Hallo,

ich bezeichne den Mittelpunkt mit M(m|m).

Dann lautet die allgemeine Kreisgleichung

(x-m)^2+(y-m)^2=r^2

P → (-7-m)^2+(3-m)^2=r^2

Q → (5-m)^2+(-1-m)^2=r^2

Um m zu bestimmen, setze ich r^2=r^2.

49+14m+m^2+9-6m+m^2=25-10m+m^2+1+2m+m^2

m^2 fällt weg.

58+8m=26-8m

16m=-32

m=-2

r^2=(-7+2)^2+(3+2)^2=50

r^2=(5+2)^2+(-1+2)^2=50

r=5√2

:-)

Answer 2

Mittelpunkt auf \(y=x\)

Geradengleichung durch \(P(-7|3) \)   \(Q(5|-1)\)

\(y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\)

Mittelsenkrechte der Strecke PQ schneidet  \(y=x\) in \(M(-2|-2)\)

Kreisgleichung:

\((x+2)^2+(y+2)^2=r^2\)

\(P(-7|3) \) liegt auf diesem Kreis:

\((-7+2)^2+(3+2)^2=r^2\) →  \(r^2=50\)

\((x+2)^2+(y+2)^2=50\)

Punktprobe für \(Q(5|-1)\)

\((5+2)^2+(-1+2)^2=50\)→ \(49+1=50\) ✓