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Aufgabe:

20230509_214945.jpg

Text erkannt:

Es sei \( \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \subset \mathbb{R} \) eine konvergente Folge. Für \( n \in \mathbb{N} \) sei \( s_{n}:=\sup \left\{a_{k} ; k \in \mathbb{N}_{n}\right\} \). Beweisen Sie:
a) Die Folge \( \left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \) ist monoton.
b) Die Folge \( \left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \) ist konvergent, und es gilt
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} s_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \)



Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte diese Aufgabe Schritt für Schritt mir vorrechnen und mir erklärt? Ich bin planlos bie dieser Aufgabe :(

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1 Antwort

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a) zu zeigen: Für alle n∈ℕ gilt \( s_{n+1} \le s_{n} \).

Also muss man zeigen

\( \sup \left\{a_{k} ; k \in \mathbb{N}_{n+1}\right\} \le \sup \left\{a_{k} ; k \in \mathbb{N}_{n}\right\} \)

Dabei bedeutet ja wohl \(  \mathbb{N}_{n} = \{ x \in \mathbb{N} | x \ge n \} \)

D.h. bei dem Supremum links hast du ein Element

weniger in der Menge als rechts, also ist das

Supremum jedenfalls nicht größer. q.e.d.

Avatar von 289 k 🚀

Soll ich noch was zeigen oder es reicht was du mir geschrueben hast?

Ich finde, dass das reicht für a).

Wäre das hier bei a auch richtig oder nicht wirklich: Sei n ∈ N. Dann ist N_n = {n, n+1, n+2, ...} eine Teilmenge von N_{n+1} = {n+1, n+2, n+3, ...}. Da s_n das Supremum von {a_k; k ∈ N_n} und s_{n+1} das Supremum von {a_k; k ∈ N_{n+1}} ist, folgt daraus s_n ≤ s_{n+1}. Somit ist die Folge (s_n)_(n=1) bis ∞ monoton wachsend.

Dann ist N_n = {n, n+1, n+2, ...} eine Teilmenge von Nn+1 = {n+1, n+2, n+3, ...}.

Das stimmt doch nicht ! Umgekehrt ist es.

Das habe ich bei b. Stimmt das?


b) Da (a_n)_(n=1) bis ∞ konvergiert, existiert ein Grenzwert a := lim a_n. Sei ε > 0 beliebig aber fest. Dann existiert ein n_ε ∈ N, so dass |a_n - a| < ε für alle n ≥ n_ε. Insbesondere gilt:

a - ε < a_n ≤ s_n für alle n ≥ n_ε.

Da s_n das Supremum von {a_k; k ∈ N_n} ist, folgt daraus s_n ≤ a + ε für alle n ≥ n_ε. Somit ist (s_n)_(n=1) bis ∞ nach oben beschränkt.

Als nächstes zeigen wir, dass (s_n)(n=1) bis ∞ monoton fallend ist. Sei m ∈ N beliebig aber fest. Dann ist N_m eine Teilmenge von N{m+1}. Da s_m das Supremum von {a_k; k ∈ N_m} und s_{m+1} das Supremum von {a_k; k ∈ N_{m+1}} ist, folgt daraus s_{m+1} ≤ s_m. Somit ist (s_n)_(n=1) bis ∞ monoton fallend.

Da (s_n)(n=1) bis ∞ monoton und nach oben beschränkt ist, konvergiert sie nach dem Monotoniekriterium. Sei s der Grenzwert von (s_n)(n=1) bis ∞. Dann gilt für alle ε > 0:

a - ε < a_n ≤ s_n ≤ s für alle n ≥ n_ε.

Daraus folgt:

lim a_n = a = s.

Somit ist auch lim s_n = lim a_n.

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