Aufgabe: Sei X ⊂ R eine nicht kompakte Teilmenge. Beweisen Sie: Esexistiert eine stetige beschränkte Funktion f : X → R, sodass es kein x ∈ X gibt mitf(x) = inf y∈X {f(y)}
Wisst ihr wie man diese Aufgabe beweisen kann?
Die Aufgabe verlangt von die ein Gegenbeispiel zu finden, welches zeigt, wie der Min/Max Satz scheitern kann, wenn der Definitionsbereich nicht kompakt ist.Nimm also z.B. \( f\colon ( 0, 1) \to \mathbf{R} \) mit \( f( x) = x\). Dann gilt\(\begin{aligned} \inf_{ x \in ( 0, 1) } f( x) = 0 \end{aligned}\)aber \( f( x) > 0\) für alle \( x \in ( 0, 1) \).
Dankeschön :). Könntest du bitte, das näher erklären, wie man den Gegenbeispiel zeigen kann?
Das ist jetzt deine Aufgabe: Du musst \(\inf_{x \in (0, 1)} f(x) = 0\) beweisen.
Okay sehr gut, vielen lieben Dank :)
Ich verstehe die Aufgabenformulierung so, dass für jede nicht-kompakte Menge die Existenz einer solchen Funktion nachgewiesen werden soll.
Wenn also \(X \sub \R\) nicht kompakt ist, dann ist es nicht abgeschlossen. Daher existiert ein \(z \in \partial X \setminus X\). Dann geht doch
$$f(x):=\min\{1,|x-z|\}$$
Oder?
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