Aufgabe:
Es sei f : R2 −→ R eine stetig differenzierbare Funktion mit ∂f/∂x = ∂f/∂y . Zeige, füralle x, y ∈ R gilt f(x, y) = f(x + y, 0) und gebe eine konkrete Funktion, die die Bedingung erfüllt an.
Problem/Ansatz:
Hallo :)
ich dachte ich versuche erstmal f(x,y) abzuleiten und zu zeigen, dass f nur von x oder y abhängig ist und intuitiv hätte ich gesagt, ich brauche noch den Mittelwertsatz der Differentialrechnung....aber was meint ihr? Habt ihr Vorschläge oder Ideen.
Danke im Voraus ;)
\(\begin{aligned} f(x,y) & =f(x,0)+\frac{f(x,y)-f(x,0)}{y}\cdot y\\ f(x+y,0) & =f(x,0)+\frac{f(x+y,0)-f(x,0)}{y}\cdot y \end{aligned}\)
Wegen \(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y}\) ist \(\frac{f(x,y)-f(x,0)}{y} = \frac{f(x+y,0)-f(x,0)}{y}\)
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