.Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

Question

Sei \( (V,\langle*,*\rangle ) \) ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum und \(\mathcal{W} \) ein Orthonormalsystem von \( V \).
Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(a) \( \mathcal{W} \) ist eine Orthonormalbasis von \( V \).
(b) Ist \( x \in V \) und \( x \perp \mathcal{W} \), so ist \( x=0 \).
(c) Für alle \( x \in V \) gilt: \( x=\sum \limits_{w \in \mathcal{W}}\langle x, w\rangle w \).
(d) Für alle \( x, y \in V \) gilt: \( \langle x, y\rangle=\sum \limits_{w \in \mathcal{W}}\langle x, w\rangle\langle y, w\rangle \).

Answer 1

Ein Anfang wäre (a) ==> (b) etwa so:

(a) \( \mathcal{W} \) ist eine Orthonormalbasis von \( V \) .

und da V endlichdimensional sieht \( \mathcal{W} \)   etwa so aus:

\( \mathcal{W} = \{ w_1, \dots , w_n \} \)

Sei \( x \in V \). Dann gibt es \(    a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R} \) mit

\(  x=\sum \limits_{i=1}^n a_iw_i \)  . Wenn nun gilt  \( x \perp \mathcal{W} \).

==>   \( \langle x, w_i \rangle  = 0 \)  für alle i∈{1,...,n}.

==>  \( \langle x, x \rangle = \langle x, \sum \limits_{i=1}^n a_iw_i \rangle   = \sum \limits_{i=1}^n a_i \langle x,w_i \rangle = \sum \limits_{i=1}^n a_i \cdot 0 = 0\) 

==>   x=0.