Aufgabe:
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Aufgabe 2 Ein Fahrradverleih habe drei Stationen \( S_{1}, S_{2} \) und \( S_{3} \). An jeder Station können Fahrräder der drei Stationen zurückgegeben werden. Vereinfachend betrachten wir die Situation, dass die Fahrräder jeweils nur einen Tag geliehen werden. Der Fahrradverleih beobachtet das Rückgabeverhalten seiner Kund:innen über einen langen Zeitraum und stellt fest, dass nach Ende der Öffnungszeit an der ersten Station \( 60 \% \) der Fahrräder aus dieser Station stammen, \( 30 \% \) an Station \( S_{2} \) abgegeben werden und die restlichen \( 10 \% \) an der Station \( S_{3} \) stehen. Für Station \( S_{2} \) ergibt sich folgendes Rückgabeverhalten: \( 50 \% \) der Fahrräder verbleiben dort, \( 20 \% \) gehen an Station \( S_{1}, 30 \% \) an Station \( S_{3} \). Die Station \( S_{3} \) behält \( 80 \% \) ihrer Fahrräder, \( 10 \% \) werden an Station \( S_{1}, 10 \% \) an Station \( S_{2} \) abgegeben. Für den Fahrradverleih stellt sich die Frage, ob der gesamte Fahrradpark von 100 Fahrrädern so auf die drei Stationen aufgeteilt werden kann, dass sich von Tag zu Tag die Anzahl der Fahrräder an jeder Station nicht ändert (Schwankungen im Rückgabe verhalten seien hier vernachlässigt). Sollte dies möglich sein, dann könnte der Fahrradverleih Transporte von Fahrrädern von einer zur anderen Station einsparen und an jeder Station verlässlich Fahrräder anbieten. Zur Lösung dieser Frage verwenden wir einen Vektor \( x^{(n)} \in \mathbb{R}^{3} \), dessen Komponenten der Bestand an Fahrrädern in den Stationen am Tag \( n \) sind.
a) Geben Sie die Matrix \( A \) an, die den Übergang von \( x^{(n)} \) zu \( x^{(n+1)} \), den Bestand am Tag \( n+1 \), beschreibt.
b) Behandeln Sie die Frage, ob durch geeignete Verteilung der Fahrräder auf die Stationen der Bestand an Fahrrädern in jeder Station konstant gehalten werden kann, als Eigenwertproblem und bestimmen Sie die geeignete Verteilung, wenn möglich.
Problem/Ansatz:
Also man kann das ja als lineares Gleichungssystem aufbauen und da sieht man ja das es funktioniert, aber was genau ist damit gemeint das man dies als Matrix angibt die diesen Übergang x^(n) zu x^(n+1) beschreibt.
zu b) ja zeigen kann ich es ja aber halt nicht durch Eigenwerte, was haben die Eigenwerte überhaupt mit der Verteilung zutun, ich verstehe halt wie schon gesagt den Zusammenhang zwischen den Gleichungssystem und einer Übergangsmatrix nicht so ganz hier.