Bestimmen Sie den Punkt der Gerade und der Optimierungsaufgabe mit dem Lagrangeschen Multiplikatorverfahren.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufgabe 9 (Optimierung mit Nebenbedingung) Bestimmen Sie den Punkt der Gerade \( -7 x+y=5 \), der dem Punkt \( (1,2) \) am nächsten liegt.
Bestimmen Sie die Lösung der Optimierungsaufgabe mit dem Lagrangeschen Multiplikatorverfahren.
Tipp: Abstand zwischen zwei Punkte: \( d=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} \)
Die Wurzel in der Zielfunktion kann vernachlässigt werden, da die Funktion genau an den Stellen ihr Minimum annimmt, an denen auch die Wurzel der Funktion minimal wird.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Comments

Wenn du 7 Fragen hintereinander in 20 Minuten fragst entsteht der Eindruck du machst dir zu wenig Gedanken über eine Lösung und möchtest nur einen Schussel haben der deine Aufgaben erledigt.

Answer 1

Finde das Minimum von d(x, y, a, b)

s.t.

a = 1   und   b = 2   und   -7x + y = 5


Stelle zu diesem Zweck die Lagrange-Funktion auf.

Komme wieder, wenn es bei der Lösung konkrete Probleme gibt.

Answer 2

Hier eine Kontroll-Lösung von meinem Freund Wolfram

Comments

Hallo,

Ich weiß nicht, wie man bei der Aufgabe vorgehen muss und wie man auf das Ergebnis kommt. Es wäre nett, wenn du mir erklären könntest, wie man Schritt für Schritt auf das Ergebnis kommt, damit ich eigenständig auch auf eine Rechnung kommen kann.

Vielen Dank im Voraus.

Sevi

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Da die Aufgabe wie folgt lautet:

Bestimmen Sie die Lösung der Optimierungsaufgabe mit dem Lagrangeschen Multiplikatorverfahren.

würde ich damit Anfangen, die Lagrange-Funktion aufzustellen. Hast du dort gar keine Idee?

Es steht doch im Text genau drin was minimiert werden soll und wie die Nebenbedingung lautet.

PS: Ist ein Abstand zu minimieren, kann man auch den quadratischen Abstand minimieren. Das solltest du aber auch meiner Eingabe bei Wolframalpha entnommen haben.

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Hallo,

Heißt die Lagrange-Funktion dann:

L(x;y;lamda) = -7x+y-5 + lamda (x-1)^2+(y-2)^2     ?

Ich freue mich auf deine Rückmeldung.

Sevi

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Nein, das ist verkehrt. Du vertauscht die Funktion die zu minimieren ist mit der Bedingung.

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Also muss ich die umgekehrt aufschreiben?

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Du solltest wissen, dass die Nebenbedingung immer in die Klammer hinter dem Lambda steht.

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Also sollte die Funktion jetzt richtig sein:

L(x;y;lamda) = (x-1)^2+(y-2)^2 +lamda (-7x+y-5)

?

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Ja. So ist das richtig. Jetzt bisldest du die drei partiellen Ableitungen. Wobei die dritte ableitung nach lambda einfach nur die Nebenbedingugn ergibt. D.h. du brauchst eigentlich nur 2 mal ableiten und als dritte Bedingung die Nebenbedingung nehmen.

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Ich habe jetzt folgende Ableitungen raus:

Lx= 2x-2-7*lamda

Ly= 2y-4+lamda

L lamda= -7x+y-5

Ich habe dann nach x und y aufgelöst, Ich bin auf folgende Ergebnisse gekommen: x=2/5; y=11/5 und lamda = -2/5 .

Sind diese Ergebnisse richtig? Und wie muss ich weiter vorgehen, damit ich das Minimum heraus bekomme?

Vielen Dank im Voraus.

Sevi

Answer 3

Ein einfacher Weg, wenn Lagrange nicht vorgegeben ist:

Eine Senkrechte durch \(P(1|2)\)  zu  \( -7 x+y=5 \) →   \( y=7x+5 \)  schneidet die Gerade in einem Punkt mit dem kürzesten Abstand.