Berechnen sie die Ableitung von fA angewendet auf Y ∈ Rnxn und formulieren sie das Newton Verfahren ohne Inverse.

Question

Aufgabe:

Sei für ein A ∈ Rn×n die Funktion f_A : R^nxn → R^nxn : X → A − X^-1 gegeben.

1 . Berechnen sie die Ableitung von f_A angewendet auf Y ∈ R^nxnund formulieren sie das Newton Verfahren ohne Verwendung einer Inversen.

2. Zeigen Sie, dass, falls A invertierbar ist, dann konvergiert das Newton Verfahren lokal gegen A^-1.

Könnte jemand helfen?

LG Blackwolf

Answer 1

Hallo,

um die Ableitung zu berechnen, benutze ich eine Verallgemeinerung des Satzes über geometrische Reihen. Für quadratische Matrizen A gilt: Wenn \(\|A\|<1\) ist, dann existiert \((I-A)^{-1}\) und es gilt die Reiehndarstellung: \((I-A)^{-1}=\sum_{i=0}^{\infty}A^i\)

Damit kann man \((X+Y)^{-1}\) für "kleine" Y entwickeln:

$$(X+Y)^{-1}=[X(I+X^{-1}Y)]^{-1}=(I+X^{-1}Y)^{-1}X^{-1} \\\quad = \left(\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i (X^{-1}Y)^i\right) X^{-1}=X^{-1}-X^{-1}YX^{-1}+ O(\|Y\|^2)$$

Daraus liest man ab:

$$f'(X)Y=X^{-1}YX^{-1} \text{  und }f'(X)^{-1}Z=XZX$$

Damit ergibt sich die Iterationsvorschrift für das Newton-Verfahren:

$$X_{n+1}=X_n-f'(X_n)^{-1}f(X_n)\\\quad=X_n-X_n(A-X_n^{-1})X_n=2X_n-X_nAX_n$$

Bei 2. sollt Ihr wahrscheinlich einen bekannten SAtz aus der Vorlesung zitieren?

Comments

\(X_{n+1}=\dots=2X_n-X_nAX_n\)

da hatte ich auch, aber es scheint nicht zu funktionieren.

Kannst Du ein Beispiel mit \(A,\,X_i \in \mathbb{R}^{2\times 2}\) liefern mit konkreten Zahlen.

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ich habe keine Computer-Algebra zur Hand, möchte deshalb keine Iteration mit Matrizen ausführen.

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ich habe keine Computer-Algebra zur Hand, möchte deshalb keine Iteration mit Matrizen ausführen.

ein Beispiel mit 2 Iteration würde ja reichen. Das geht z.B. mit Excel oder einem anderen Tabellenkalkulationsprogramm. Beispiel:$$A=\begin{pmatrix} 6,5 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\quad \det(A)=0,5$$Die Inverse wäre$$A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -4 & 13 \end{pmatrix}$$Wenn man nun z.B. für \(X\) wählt:$$X=\begin{pmatrix} {\color{red}3} & -6 \\ -4 & 13 \end{pmatrix}$$was ja IMHO nicht weit vom zu erwartenen Ergebnis entfernt ist, dann konvergiert das bereits nicht mehr.

Bei 2. sollt Ihr wahrscheinlich einen bekannten SAtz aus der Vorlesung zitieren?

Vielleicht hilft dieser Satz da weiter. Ich kenne ihn nicht ;-)

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Naja. 8n Deinem Beispiel wäre ja I-AX schon relativ groß.

Wenn man das Verfahren als Fixpunkt Itertion betrachtet, sieht man dass eben diese Differenz in der Norm kleiner als 0.5 sein sollte....