Partialbruchzerlegung mit mehrfachen Linearfaktoren

Question

Ich habe eigentlich keine Probleme mit der Partialbruchzerlegung und auch diese Frage wird wahrscheinlich sehr einfach zu beantworten sein nur leider finde ich gerade nichts gutes dazu weder im Skript noch im Netz. Unter welchem System liegt die PBZ wenn es mehrfache Linearfaktoren im Nenner gibt.

Anbei ist eine Beispielaufgabe bei der ich nicht verstehe in welcher Reihenfolge bzw in welchem System die Buchstaben (A,B,C,D,E) mit den verschiedenen Nennern multipliziert werden.

(iii) \( \int \frac{x^{4}+2 x^{3}+x^{2}+16 x-12}{x^{5}-4 x^{4}+4 x^{3}} d x= \) ?
Faktorisierung des Nenners: \( x^{5}-4 x^{4}+4 x^{3}=x^{3} \cdot\left(x^{2}-4 x+4\right)=x^{3} \cdot(x-2)^{2} \)
Für \( A, B, C, D, E \in \mathbb{R} \) :
\( \begin{array}{l} \frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x^{3}}+\frac{D}{x-2}+\frac{E}{(x-2)^{2}} \\ = \frac{A \cdot x^{2} \cdot(x-2)^{2}+B \cdot x \cdot(x-2)^{2}+C \cdot(x-2)^{2}+D \cdot x^{3} \cdot(x-2)+E \cdot x^{3}}{x^{3}(x-2)^{2}} \\ = \frac{A \cdot\left(x^{4}-4 x^{3}+4 x^{2}\right)+B \cdot\left(x^{3}-4 x^{2}+4 x\right)+C \cdot\left(x^{2}-4 x+4\right)+D \cdot\left(x^{4}-2 x^{3}\right)+E \cdot x^{3}}{x^{3}(x-2)^{2}} \\ = \frac{(A+D) \cdot x^{4}+(-4 A+B-2 D+E) \cdot x^{3}+(4 A-4 B+C) \cdot x^{2}+(4 B-4 C) \cdot x+(4 C)}{x^{3}(x-2)^{2}} \\ \stackrel{!}{=} \int \frac{x^{4}+2 x^{3}+x^{2}+16 x-12}{x^{3}(x-2)^{2}} \end{array} \)

Answer 1

$$\frac{A}{x} \cdot \frac{B}{x^2} \cdot \frac{C}{x^3} \cdot \frac{D}{x-2} \cdot \frac{E}{(x-2)^2} \newline \text{Alles auf den Hauptnenner erweitern.} \newline = \frac{A \cdot x^2 \cdot (x-2)^2}{x^3 \cdot (x-2)^2} \cdot \frac{B \cdot x \cdot (x-2)^2}{x^3 \cdot (x-2)^2} \cdot \frac{C \cdot (x-2)^2}{x^3 \cdot (x-2)^2} \cdot \frac{D \cdot x^3 \cdot (x-2)}{x^3 \cdot (x-2)^2} \cdot \frac{E \cdot x^3}{x^3 \cdot (x-2)^2} \newline = \frac{A \cdot x^2 \cdot (x-2)^2 + B \cdot x \cdot (x-2)^2 + C \cdot (x-2)^2 + D \cdot x^3 \cdot (x-2) + E \cdot x^3}{x^3 \cdot (x-2)^2}$$

Langt das so für das Verständnis?

Comments

Vielen Dank das war was mir gefehlt hat !

Answer 2

Aloha :)

Der Nenner ist schnell faktorisiert zu:$$x^5-4x^4+4x^3=x^3(x^2-4x+4)=x^3(x-2)^2$$Daher lautet unser Ansatz für die Partialbruch-Zerlegung:$$\frac{x^4+2x^3+x^2+16x-12}{x^3(x-2)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{(x-2)}+\frac{E}{(x-2)^2}$$

1. Schritt: Wir multiplizieren beide Seiten mit \(x^3\) und setzen danach \(x=0\) ein:$$\frac{x^4+2x^3+x^2+16x-12}{(x-2)^2}\bigg|_{x=0}=Ax^2+Bx+C+\frac{Dx^3}{(x-2)}+\frac{Ex^3}{(x-2)^2}\bigg|_{x=0}$$$$\frac{-12}{(-2)^2}=C\implies \pink{C=-3}$$

2. Schritt: Wir multiplizieren beide Seiten mit \((x-2)^2\) und setzen danach \(x=2\) ein:$$\small\frac{x^4+2x^3+x^2+16x-12}{x^3}\bigg|_{x=2}=\frac{A}{x}(x-2)^2+\frac{B}{x^2}(x-2)^2+\frac{C}{x^3}(x-2)^2+D(x-2)+E\bigg|_{x=2}$$$$\frac{56}{8}=E\implies\pink{E=7}$$

3, Schritt: Wir setzen für \(x\) drei Werte ein, die wir bisher noch nicht hatten, erhalten 3 Gleichungen für 3 Unbekannte und lösen das kleine Gleichungssystem:

$$x=1\implies8=\frac{A}{1}+\frac{B}{1}-\frac{3}{1}+\frac{D}{-1}+\frac{7}{1}=A+B-D+4\implies A+B-D=4$$$$x=3\implies\frac{20}{3}=\frac{A}{3}+\frac{B}{9}-\frac{3}{27}+D+7\implies 3A+B+9D=-2$$$$x=-1\implies\frac{28}{9}=\frac{A}{-1}+\frac{B}{1}+\frac{-3}{-1}+\frac{D}{-3}+\frac79\implies3A-3B+D=2$$Dieses kleine Gleichungssystem hat die Lösung:\(\quad\pink{A=2\;;\;B=1\;;\;D=-1}\).

Damit sind wir auch schon fertig:$$\frac{x^4+2x^3+x^2+16x-12}{x^3(x-2)^2}=\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x^3}-\frac{1}{(x-2)}+\frac{7}{(x-2)^2}$$

Comments

Vielen dank für deine ausführliche Antwort jetzt weiß ich wie ich es noch geschickter Rechnen kann :)