Beschränktheit formal nachweisen

Question

Aufgabe:

Überprüfe die Folge auf Beschränktheit

1) $$a_n= 2n + (-1)^n$$

2) $$a_n= \frac{1+2^n}{1+2^n+(-2)^n}$$

Ansatz:

Ich habe zuerst einmal die verschiedenen Folgenglieder berechnet

a_0= 1

a_1= 1

a_2=5

a_3=5

a_4= 9

a_5 =9

Somit ist die Folge nicht beschränkt da sie divergiert.

Aber kann man das nicht auch irgendwie formal zeigen?

Comments

Antwort wurde gelöscht.

---

Zeige a_n<a_n+1

Erstens stimmt das nicht und zweitens würde es selbst dann keine Divergenz nachweisen.

---

$$a_n < a_{n+1}$$

$$2n+ (-1)^n < 2(n+1)+ (-1)^{n+1}$$

$$2n + (-1)^n < 2n +2 +(-1)^n +(-1)$$ rechne minus 2n

$$(-1)^n < 2 + (-1)^n*(-1)$$

und jetzt?

---

Betrachte bei 2) nur ungerade Werte von n. Der Nenner wird zu 1, sodass du nur den Zähler untersuchen musst.

Answer 1

a) an = 2^n-1 für n ist ungerade

an = 2^n+1 für n ist gerade

2n± 1 beschreibt alle ungeraden natürlichen Zahlen

Die Menge ist abzählbar unendlich und damit unbeschränkt.

0 ist in der Menge ℕ nicht enthalten.

b) Klammere 2^n aus und kürze damit.

Answer 2

Sei \(K>0\). Dann gilt für \(n>(K+1)/2\):

\(a_n=2n+(-1)^n>2(K+1)/2+(-1)^n\geq K\), d.h.

kein \(K>0\) kann obere Schranke sein.

Comments

Wie kommt ein Normal-Mathe-Sterblicher darauf, ermanus?

An was muss man dabei denken? Grundwissen?

Immer wenn ich lese: Sei ... setzt es bei mir aus.

Diese "SEI-ereien" haben sich mir nie erschlossen.

---

Um Unbeschräktheit nach oben zu zeigen, muss

ich zeigen: \(\forall K>0\; \exists n\in \mathbb{N}:\; a_n>K\).

Dies kann man auch so ausdrücken:

\(K>0\Rightarrow \exists n\in \mathbb{N}:\; a_n>K\).

\(K>0\) ist in dieser Implikation \(\alpha\Rightarrow \beta\)

die Prämisse \(\alpha\). Mit "Sei \(\alpha\)", nimmt man die

Prämisse als gegeben an und zeigt dann damit

die Konklusion.

---

Danke.

Mit dieser trockenen Mathematik werde ich nie warm werden, auch wenn

sie wohl ihren Sinn haben wird.