Allgemeiner Hinweis:
Der Autor der Aufgabe hat wohl den Ausdruck "expand a function into a Laurent series" irreführend übersetzt. Die Funktion \(f(z) = \frac 1{(z-3)(z-2)}\) ist auf \(\mathbb C \setminus \{3,2\}\) holomorph und kann nicht "erweitert" sondern in eine Laurent-Reihe entwickelt werden.
Die zugehörige Laurent-Reihe um \(z=i\) ist dann wegen der beiden Singularitäten in \(z=2\) und \(z=3\) nur im Kreisring
\(|2-i| = \sqrt 5 < |z-i| < \sqrt{10} = |3-i|\)
konvergent. Das ist also definitiv keine "Erweiterung" der Funktion.
Laurent-Reihe um i:
$$\begin{array}{rcl}\frac 1{(z-3)(z-2)} & = & \frac {(z-2)-(z-3)}{(z-3)(z-2)} \\ & = & \frac 1{z-3} - \frac 1{z-2} \\ & = & \frac 1{(z-i)-(3-i)} - \frac 1{(z-i)-(2-i)} \\ & = & -\frac 1{3-i} \frac 1{1-\frac{z-i}{3-i}} - \frac 1{z-i}\frac 1{1-\frac{2-i}{z-i}} \\ & = & -\frac 1{3-i} \sum_{n\geq 0} \left(\frac{z-i}{3-i}\right)^n - \frac 1{z-i}\sum_{n\geq 0} \left(\frac{2-i}{z-i}\right)^n \\ & = & \sum_{n\geq 0} \left(-\frac 1{(3-i)^{n+1}}\right)(z-i)^n + \sum_{n\geq 1} \left(-(2-i)^{n-1}\right)\frac 1{(z-i)^{n}}\end{array}$$
Laurent-Reihe um \(\infty\):
Setze \(z=\frac 1w\) in die Funktion ein und entwickle um \(w=0\). Zum Schluss ersetzt du wieder \(w= \frac 1z\).
Genaueres schreib ich erst, wenn ich einen echten Lösungsversuch von deiner Seite sehen.
