Unterschied algebraischer Vielfachheit über C bzw. über R

Question

Wenn die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts x über R: µ(x) = a ist, dann ist auch die algebraische Vielfachheit über C µ(x) = a . Anders herum gilt das nicht unbedingt. Richtig? Deswegen kann man doch bspw. zeigen dass:

( 0 einziger Eigenwert von f =>  f nilpotent ) nur über alg. abgeschl. Körper (z.B. also C) gilt. Würde der 2. Teil von dem was ich oben gesagt habe falsch sein, so könnte ich es doch auch für C zeigen oder nicht? Denkfehler?

Vielen Dank

Answer 1

Sei \(x_0\) eine \(k\)-fache Nullstelle eines Polynoms \(p\in \mathbb{C}[x]\) mit reellen Koeffizienten.

Fasst man \(p\) als Polynom aus \(\mathbb{R}[x]\) auf, dann ist \(x_0\) entweder ebenfalls eine \(k\)-fache Nullstelle von \(p\) (falls \(x_0\in \mathbb{R}\)) oder keine Nullstelle von \(p\) (falls \(x_0\in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}\)).