Satz von Gauß - Integralsatz und Transformationssatz

Question

Aufgabe:

Es sei \( B:=\left\{x \in \mathbb{R}^{2}:|x| \leq 1\right\} \). Berechnen Sie
\( \int \limits_{\partial B} xy\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} -x \\ y \end{array}\right) \mathrm{d} A . \)

Problem/Ansatz:

Ich habe erstmal die zwei Vektoren miteinander multipliziert und anschließend die Einträge mit xy multipliziert: (-x³y, xy³) als Vektor mit 2 Einträgen.

Nun habe ich den Satz von Gauß benutzt und die divergenz des Vektors berechnet:

\( \int \limits_{B}-3 x^{2} y+3 xy^{2} d x \)

Ab hier bin ich mir unsicher? Ich hätte nun den Transformationssatz angewandt? Aber irgendwie komme ich hier nicht weiter. Ist ein Ansatz überhaupt korrekt?

Ich danke euch schonmal für eure Hilfe!

Comments

Wie hast Du die beiden Vektoren multipliziert?

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Erste Eintrag • erster Eintrag und das gleiche mit dem zweiten Eintrag. Das stimmt doch?

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Ich verstehe auch nicht, was Du gerechnet hast. Der Integrand ist eine Zahl, kein Vektor. Und bist Du sicher beim Ausgangsintegral? \(\int_{\partial B}\to\) Linienintegral, aber \(dA\) Flächenintegral? Und nach Deiner Umformung: \(\int_B\to\) Flächenintegral, aber \(dx\to\) Linienintegral?

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In der Originalaufgabe wurde von x₁ und x₂ gesprochen und ich habe sie der einfachheitshalber zu x und y umgeändert. Hier ist mir natürlich jetzt ein Fehler in der Notation untergekommen. Also x,y∈R²

Tut mir leid für die Verwirrung…

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Ok, \(x,y\in R^2\)?! Aber was sind das dann für Vektoren im Integranden, in denen in beiden Komponenten jeweils ein Vektor steht? Die Verwirrung besteht für mich weiter, auch bez. der Integrale (siehe vorigen Kommentar).

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Die von Dir oben beschriebene Vektormultiplikation gibt es nicht

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Hallo

das soll doch wohl ein Skalarprodukt sein? dann ist das Ergebnis in R nicht in R^2, kannst du B beschreiben?

lul

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B sollte der Einheitskreis, also Radius kleiner gleich 1 sein

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hallo

dann lohnen sich meist Polarkoordinaten!

lul

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Genau, das hätte ich auch gemacht. Aber ich muss davor die zwei Vektoren miteinander multiplizieren, aber in dem Fall hab ich das oben falsch berechnet. Jetzt fällt mir auch auf, dass die Zielmenge R1 ist. Daher die Vektoren berechnen: x•(-x) + y•y und das Ergebnis mit xy multiplizieren? Stimmt das so?

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So macht der Integrand Sinn (siehe Kommentar ganz oben). Aber dann sind \(x,y\in \R\), nicht in \(\R^2\). Und das Problem mit dem Integral besteht weiterhin. Mit der Rechnung sollte man erst anfangen, wenn die Gegebenheiten hier ganz klar sind.

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Hallo

\( \vec{x} =\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\) liegt in R^2 damit x,y in R

lul