Das Anfangswertproblem, a und b bestimmen

Question

Aufgabe:

kann jemand mir bei dieser Aufgabe helfen :

Das Anfangswertproblem  y'+y=  4 x e^-x ;   y( 0 )= 8 sei gegeben. Bestimmen sie den Ganzen Zahlen a und b sodass

y = y ( x ) = ( a x² + b ) e^-x   die spezielle Loesung des Anfangswertproblems darstellt.

Answer 1

Hallo :-)

Ableiten der Ansatzfunktion ergibt:

$$ y(x)=(a\cdot x^2+b)\cdot e^{-x}\\y'(x)=2\cdot a\cdot x\cdot e^{-x}-(a\cdot x^2+b)\cdot e^{-x}=-(a\cdot x^2-2\cdot a\cdot x+b)\cdot e^{-x} $$

Eingesetzt in die DGL ergibt:

$$y(x)+y'(x)=(a\cdot x^2+b)\cdot e^{-x}-(a\cdot x^2-2\cdot a\cdot x+b)\cdot e^{-x}=2\cdot a\cdot x\cdot e^{-x}\stackrel{!}{=}4\cdot x\cdot e^{-x}$$

Koeffizientenvergleich liefert \(a=2\) und \(b\in \R\) beliebig. Die allgemeine Lösung der DGL lautet damit

$$ y(x)=(2\cdot x^2+b)\cdot e^{-x} $$

Mit der Anfangswertbedingung erhält man \(8=y(0)=(2\cdot 0^2+b)\cdot e^{-0}=b\) und damit die spezielle Lösung

$$ y_1(x)=(2\cdot x^2+8)\cdot e^{-x}. $$

Answer 2

Aloha :)

Die spezielle Lösung$$y=y(x)=(ax^2+b)\cdot e^x$$muss die Anfangsbedingung \(y(0)=8\) erfüllen:$$8=y(0)=(a\cdot0^2+b)\cdot e^0=b\implies \pink{b=8}$$

Und natürlich muss die spezielle Lösung auch die Differentialgleichung erfüllen:$$4xe^x=y'(x)+y(x)=\underbrace{2ax\,e^x+(ax^2+b)e^x}_{=y'(x)}+\underbrace{(ax^2+b)e^x}_{=y(x)}$$Wegen \(\pink{b=8}\) heißt das:$$4xe^x=2ax\,e^x+2(ax^2+8)e^x$$Diese Gleichung muss insbesondere für \(x=1\) gelten:$$4e=2ae+2(a+8)e\implies4=2a+2(a+8)=4a+16\implies\pink{a=-3}$$