Hilfe bei den ganzen Zahlen

Question

Hilfe bei den ganzen Zahlen

2 Antworten

Ein anderes Problem?

oswald · Answer 1 · 2023-09-25T03:20:41+0000

Ich muss eine Sachanalyse der ganzen Zahlen schreiben und dort müssen Zahlenpaare und Äquivalenzklassen erklärt werden.

Das ist eher ungewöhnlilch. Normalerweise werden in einer Sachanalyse der ganzen Zahlen ganze Zahlen erklärt und dabei vorausgesetzt, dass Zahlenpaare und Äquivalenzklassen dem Leser bekannt sind.

Ich kriege den Zusammenhang nicht ganz verdeutlicht.

Hier ist der Zusammenhang zwischen Äquivalenzklassen und ganzen Zahlen:

Definition. Die Relation \(\sim\ \subseteq\mathbb{N_0}^{2}\times\mathbb{N_0}^{2}\) auf \(\mathbb{N_0}^{2}\) ist definiert durch

\(\begin{aligned} (n,m)\sim(n',m') & \iff n+m'=m+n'\text{.} \end{aligned}\)

Satz. Die Relation \(\sim\) ist eine Äquivalenzrelation.

Definition (Menge der ganzen Zahlen). Die Menge \(\mathbb{Z}\) der ganzen Zahlen ist die Menge der Äquivalenzklassen von \(\sim\).

Definition (Rechenarten der ganzen Zahlen). Für alle \([(n,m)],[(n',m')]\in\mathbb{Z}\) ist

\(\begin{aligned} [(n,m)]+_\mathbb{Z}[(n',m')] & \coloneqq[(n+_\mathbb{N}n',m+_\mathbb{N}m')]\\ [(n,m)]-_\mathbb{Z}[(n',m')] & \coloneqq[(n,m)]+_\mathbb{Z}[(m',n')]\\ [(n,m)]\cdot_\mathbb{Z}[(n',m')] & \coloneqq[(n\cdot_\mathbb{N}n'+_\mathbb{N}m\cdot_\mathbb{N}m',n\cdot_\mathbb{N}m'+_\mathbb{N}n'\cdot_\mathbb{N}m)] \end{aligned}\)

Satz. Die Rechenarten \(+_\mathbb{Z}\) und \(\cdot_\mathbb{Z}\) sind durch obige Definition wohldefiniert.

Definition (Ordnung). Für alle \([(n,m)], [(n',m')]\in\mathbb{Z}\) ist

\([(n,m)]\leq_{\mathbb{Z}} [(n',m')]\ {:\iff}\ n+_{\mathbb{N}}m'\leq_\mathbb{N} n'+_{\mathbb{N}_0}m\).

Satz. Die Ordnung \(\leq_{\mathbb{Z}}\) ist wohldefiniert und eine schwache Totalordnung.

Definition (Gegenzahl). Für jedes \([(n,m)]\in\mathbb{Z}\) heißt \([(m,n)]\) Gegenzahl von \([(n,m)]\).

Satz (Einbettung von \(\mathbb{N}_0\) in \(\mathbb{Z}\)). Sei \(\mathbf{N}_0 = \{[(n,0)]\in \mathbb{Z}|\,n\in \mathbb{N}_0\}\). Dann ist \((\mathbb{N}_0,+_\mathbb{N},\cdot_\mathbb{N},\leq_\mathbb{N})\) isomorph zu \((\mathbf{N}_0,+_\mathbb{Z} |_{\mathbf{N}_0},\cdot_{\mathbb{Z}} |_{\mathbf{N}_0},\leq_{\mathbb{Z}} |_{\mathbf{N}_0})\).

Notation. Für jedes \(n\in \mathbb{N}_0\) wird die Äquivalenzklasse \([(n,0)]\) mit \(n\) bezeichnet. Für jedes \(z\in \mathbb{Z}\) wird die Gegenzahl von \(z\) mit \(-z\) bezeichnet.

abakus · Answer 2 · 2023-09-22T14:58:52+0000

Die ganzen Zahlen sind entstanden, um bisher unlösbare Subtraktionsaufgaben lösbar zu machen.

Was soll BISHER bedeuten? Bis zu welcher Zeit?

BISHER = bis heute und das ist definitiv falsch.

Wenn schon, dann bitte präzise.

In der Praxis waren sie längst lösbar seit es die Schuldenwirtschaft gibt.

Man nannte das eine Guthaben (später: schwarze Zahlen), das an

dere Schulden (rote Zahlen)

Es gab nur keinen abstrakten Begriff für die roten Zahlen, der das hätte ausdrücken

können. Jeder konnte aber mit dem Problem umgehen (Schuldschein).

Heute ist man im Minus, früher hatte man Schulden.

Die negativen Zahlen gehen auf die Chinesen zurück (ca. 2. Jh. vor Christus).

Da waren die Chinesen mal wieder schneller, sowie sie das auch heute in

vielen Bereichen sind und Europa auslachen und erobern ohne Waffen, indem

sie es aufkaufen oder ökonomisch schwächen.

Deutschland ist mehr auf China angewiesen als umgekehrt.

Wenn China hustet, holt sich Europa u.a. eine veritable ökonomische Grippe.

Kommentiert 22 Sep 2023 von ggT22

Mit etwas Grundintelligenz hättest du aus dem Sachzusammenhang übrigens darauf schließen können, dass mit "bisher" gemeint sein könnte

In der Mathematik gibt es kein KÖNNTE unter Profis.

Wenn Sie sich nicht klar ausdrücken können, obwohl das hier leicht möglich wäre,

haben Sie ein Problem, nicht ich.

Die Grundintelligenz-Polemik hätten Sie sich sparen können.

Sie ist weder witzig noch angebracht, sondern wieder Ausdruck Ihrer

arroganten anti-pädogogischen Art, Ihre billigen Pöbeleien abzusondern,

die ich einfach nur widerlich und primitiv finde.

Einen Kontext,der Ihren falschen Sprachgebrauch rechtfertigen könnte, gibt

es so nicht.

Was Ihnen fehlt, ist ein Grundanstand, Fairness und Sozialkompetenz.

Nehmen Sie Nachhilfe z.B. beim Mathecoach, vlt. macht er es gratis.

Vom Erfolg würde das Forum profitieren, weil dann diese ekelige Zofferei

vlt. ein Ende hätte.

Kommentiert 22 Sep 2023 von ggT22

Dass negative Zahlen in der Algebra vor ca. 1400/1500
kein Problem gewesen seien, ist historisch falsch:

Es gab zumindest ein Bewusstsein.
Man kannte den Unterschied zwischen Guthaben und Schulden, dass das eine
das Gegenteil vom anderen ist.
Wie man das formal darstellt, ist eine andere Sache.

Das Bewusstwerden ist die Basis für eine spätere Formalisierung.
Man macht sich Gedanken, wie man das machen könnte.

Du übersiehst diesen wichtigen Aspekt.
Etwas psychologisches Denken täte Mathematiker manchmal gut,
in diesen Fall auch dir.

Die Mathematik ist nicht vom Himmel gefallen, sondern ursprünglich aus
aus rein praktischen Lebensbewältigungsbedürfnisse entstanden.
Das scheinen die meisten heutigen abgespaceten Abstraktionsfanatiker immer wieder zu vergessen.

Alle Wissenschaft ging von der Lebenswelt aus und dem Versuch,
diese besser zu bewältigen.
Ohne die besondere,evolutive Gehirnentwicklung beim homo sapiens
gäbe es keine Wissenschaft. Und die beruht wieder wie alles auf der Welt letztlich auf unendlichen vielen Zufällen mir knallharten Aussiebprozessen.
Mutation und Selektion,kulturellen Veränderungen, Umwelteinflüssen u.v.m.haben auch den heutigen Menschen hervorgebracht, das einziges Lebewesen, das sehenden Auges seinen Lebensraum zerstört.

Hätte Theia nicht eingeschlagen, ....

Falsch war schon vieles, was man lange als gesichert ansah, bevor es neue Erkenntnisse widerlegten (Paradigmawechsel) und als naiven Unsinn entlarvten wie z.B. die 7-Tage-Schöpfung, der Transferäther, die Mittelpunktstellung der Erde im Kosmos, die Großartigkeit des Menschen, der zur Bestie werden kann, und, und, und.

Ob dein Lernhelfer dafür die beste Quelle ist für die Geschichte der Mathematik, bezweifle ich.
Vlt. gibt es längst differenziertere Erkenntnisse.

Im Übrigen ist der Beitrag offensichtlich nicht überflüssig:
Er regt zur Diskussion an und leider auch zur Polemik gegen mich wie so oft.

Wer erstere nicht will, braucht sich daran nicht zu beteiigen.
Aus Diskussionen kann man viel lernen - im Positiven wie im Negativen.

Semper aliquid haeret .
Möge es meist. Nützliches sein und v.a. Polemikfreies und von Toleranz Geprägtes.

Zudem: Muss alles immer konkreten Nutzen haben?
Wem schadet eine Diskussion? Foren sin auch dazu da,
nicht bloß Aufgaben lösen helfen oder Komplettlösungen zu liefern,
wenn sinnvoll und gewünscht.
Dispute bringe Leben in die oft trockene Mathebude, in der man

manchmal das Gefühl hat, da antworten KIs ohne Einfühlungsvermögen

und Drang, jede menschliche Schwächen an den Pranger stellen zu müssen

ohne Rücksicht auf Angemessenheit und Fairness.

Danke an hj, der wieder einmal in seiner Scharfsinnigkeit einen Widerspruch
erkannt und polemikfrei aufgezeigt hat.
Man kann denken über ihn, will man will, sachlich ist er unschlagbar
und ohne Vorurteile, wenn es um Kritik geht. Er ist keine Lehrerkollegen-Krähe,
"kräht" nur, wenn es um die Sache geht, aber nicht im Sinn von Unterstützung

fragwürdiger, Zoff provozierender Kommentatoren, sondern als knallharterLogiker, dem man nichts vormachen kann.

Irgendwie beginne ich, eine gewisse Sympathie für ihn zu hegenund ihn vlt. ein wenig besser zu verstehen.

In diesem Sinn entschuldige ich mich bei ihm für die eine oder andere Reaktion auf seine Antworten.

Ich denke, dass er es nie wirklich böse oder boshaft meint,auch wenn es so verstanden werden könnte, wenn man mit seiner Art grundsätzliche Probleme hat.

Lange Rede, kurzer Sinn:

Ich hoffe auf bessere Zeiten - trotz ständiger Rückschläge.

Kommentiert 25 Sep 2023 von ggT22

Dass negative Zahlen in der Algebra vor ca. 1400/1500
kein Problem gewesen seien, ist historisch falsch:

Es gab zumindest ein Bewusstsein.

Man kannte den Unterschied zwischen Guthaben und Schulden, dass das eine

das Gegenteil vom anderen ist.

Wie man das formal darstellt, ist eine andere Sache.

Das Bewusstwerden ist die Basis für eine spätere Formalisierung.

Man macht sich Gedanken, wie man das machen könnte.

Du übersiehst diesen wichtigen Aspekt.

Etwas psycholisches Denken täte manchem Mathematiker gut,

in diesen Fall auch dir.

Die Mathematik ist nicht vom Himmel gefallen, sondern

aus praktischen Bedürfnisse entstanden.

Das scheinen die meisten abgespaceten Abstraktionsfanatiker immer wieder zu vergessen.

Alle Wissenschaft geht von der Lebenswelt aus und dem Versuch,

diese besser zu bewältigen.

Ohne die besondere,evolutive Gehirnentwicklung beim homo sapiens

gäbe es keine Wissenschaft. Und beruht wieder auf vielen Zufällen.

Mutation und Selektion,kulturellen Veränderungen, Umwelteinflüssen u.v.m.

Historisch falsch war schon vieles, was man als gesichert ansah..

Vlt. sind wir auch hier noch nicht ans Ende der Erkenntnisse gelangt

wie in vielen Bereichen, wo neue Funde zu anderen Erkenntnissen

und Schlussfolgerungen und Interpretationen führen.

Ob dein Lernhelfer dafür die beste Quelle ist, bezweifle ich.

Vlt. gibt es längst differenziertere Erkenntnisse.

Im Übrigen ist der Beitrag offensichtlich nicht überflüssig:
Er regt zur Diskussion an und leider auch zur Polemik gegen mich.

Wer ersteres nicht will, braucht sich daran nicht zu beteiigen.

Aus Diskussionen kann man viel lernen - im Positiven wie im Negativen.

Semper aliquid haeret .

Möge es v.a. Nützliches sein und v.a. Polemikfrei und von Toleranz Geprägtes.

Zudem: Muss alles immer konkreten Nutzen haben?

Wem schadet eine Diskussion? Foren sin auch dazu da,

nicht bloß Aufgaben lösen helfen oder Komplettlösungen zu liefern,

wenn sinnvoll und gewünscht.

Danke an hj, der wieder einmal in seiner Scharfsinnigkeit einen Widerspruch

erkannt und polemikfrei aufgezeigt hat.

Man kann denken über ihn, will man will, sachlich ist er unschlagbar

und ohne Vorurteile, wenn es um Kritik geht. Er ist keine Krähe,

"kräht" nur, wenn es um die Sache geht, aber nicht im Sinn von

Lehrerkollegen-Protektion.

Kommentiert 25 Sep 2023 von ggT22

Interessant! Psychologie in der Doktor-Prüfung
und jahrelange Praxis als Supervisor
zweier Psychotherapeuten scheint nicht zu reichen

Du wissenschaftl. Psychologie braucht man hier nicht.

Es reicht die Volkspsychologie = die einfache Überlegen, woher das Problem

aus der Praxis stammt/ stammen könnte.

vgl.

https://www.friedrich-verlag.de/friedrich-plus/sekundarstufe/mathematik/zahlen-groessen/ein-blick-in-die-geschichte-187

Ich fand noch dies:

Negative Zahlen wurden erstmals in dem chinesischen Mathematikbuch „Neun Kapitel der Rechenkunst“ (Jiǔ Zhāng Suànshù, ca. 2. Jahrhundert vor Christus) erwähnt. In dem Buch wird das chinesische Zahlensystem erklärt, bei dem rote Stäbchen für positive Zahlen und schwarze Stäbchen für negative Zahlen benutzt werden.

Kommentiert 25 Sep 2023 von ggT22

Hilfe bei den ganzen Zahlen

2 Antworten

Ähnliche Fragen

Eingabetools:

Beliebte Fragen:

Heiße Lounge-Fragen: