Bestimmen Sie die Nullstellen von f und Untersuchen Sie das Verhalten für

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f : x → f (x) mit f (x) = −1/8x^3+1/4x^2+x

a) Bestimmen Sie die Nullstellen von f und Untersuchen Sie das Verhalten für
x → ±∞. Zeichnen Sie den Graph im Intervall x ∈ [−3; 5] in ein Koordinatenkreuz.

Problem:

Nullstelen und zeichnen ist kein Problem, allerdings sollte ich noch nie das Verhalten für x → ±∞ untersuchen.

Wie geht das, was bringt das?

Answer 1

a) Bestimmen Sie die Nullstellen von f und Untersuchen Sie das Verhalten für
x → ±∞. Zeichnen Sie den Graph im Intervall x ∈ [−3; 5] in ein Koordinatenkreuz

f(x) = - 1/8·x^3 + 1/4·x^2 + x = - 1/8·x·(x^2 - 2·x - 8) = - 1/8·x·(x - 4)·(x + 2) = 0 → x = -2 ∨ x = 0 ∨ x = 4

Für das Verhalten im Unendlichen setzt du gedanklich sehr sehr kleine und große Werte für x ein und überlegst wohin die Funktionswerte tendieren. Das sieht man bereits auch an dem Graphen wenn du diesen gemacht hast.

lim (x → - ∞) f(x) = + ∞
lim (x → + ∞) f(x) = - ∞

Skizze

~plot~ -1/8x^3+1/4x^2+x ~plot~

Answer 2

Für den lim x-> +- oo musst du nur den Term mit der höchsten Potenz betrachten, also -1/8*x^3

lim = -+ oo

x^3 "schlägt sie alle".