Berechne, zu welchem Zeitpunkt die Abnahme der Konzentration am stärksten ist.

Question

Die Konzentration eines Wirkstoffs im Blut lässt sich durch folgende Funktion beschreiben:
K(t) = 5•(e^-0,12t- e^-0,3t)
t .. Zeit nach Beginn der Verabreichung in Stunden
K(t) ... Konzentration des Wirkstoffs zur Zeit t in mg
1) Ermittle die maximale Konzentration.
2) Ermittle den Zeitpunkt, zu dem nur mehr 25 % der maximalen Konzentration vorhanden sind.
3) Berechne, zu welchem Zeitpunkt die Abnahme der Konzentration am stärksten ist.
4) Argumentiere anhand der Funktionsgleichung, welchem Wert sich die Konzentration für t - › ∞ nähert.

Comments

Konzentration des Wirkstoffs zur Zeit t in mg

Die Wirkstoffmenge wird in mg gemessen. Die Wirkstoffkonzentration in mg/l

Answer 1

1) Ermittle die maximale Konzentration.

K(t) = 5·e^(- 0.12·t) - 5·e^(- 0.3·t)
K'(t) = 1.5·^(- 0.3·t) - 0.6·^(- 0.12·t) = 0 → t = 50/9·LN(5/2) = 5.091 Stunden

K(50/9·LN(5/2)) = 3/5·20^(1/3) = 1.629 mg

2) Ermittle den Zeitpunkt, zu dem nur mehr 25% der maximalen Konzentration vorhanden sind.

K(t) = 5·e^(- 0.12·t) - 5·e^(- 0.3·t) = 0.25·3/5·20^(1/3) → t = 20.70 Stunden

3) Berechne, zu welchem Zeitpunkt die Abnahme der Konzentration am stärksten ist.

K''(t) = 0.072·e^(- 0.12·t) - 0.45·e^(- 0.3·t) → t = 100/9·LN(5/2) = 10.18 Stunden

4) Argumentiere anhand der Funktionsgleichung, welchem Wert sich die Konzentration für t → ∞ nähert.

lim (t → ∞) 5·e^(- 0.12·t) - 5·e^(- 0.3·t) = 0 - 0 = 0

Answer 2

Die Abnahme der Konzentration wird durch K'(t) beschrieben.

Du brauchst also ein Minimum ( negative Zahl mit möglichst hohem Betrag)

von K'.   Das bekommst mit K ' ' (t) = 0 und K '''(t) > 0.

Answer 3

3) K''(t) = 0 , Wendepunkt bestimmen