Parameterdarstellung einer Gleichung

Question

Aufgabe:

Ermittle eine Parameterdarstellung der Ebene E mit der Gleichung x+6y-z=2

Problem/Ansatz:

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten - Z.B X= (2|0|0) + u.(-6|1|0) + v.(1|0|1). Wie komme ich dorthin? Bitte um Hilfe

CHRISTIAN

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Eine Gleichung mit 3 Unbekannten ist unterbestimmt.

Man kann nur Lösungen in Abhängigkeit der Variablen untereinander angeben

oder Variablen frei wählen.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Stelle die Ebenengleichung nach \(x\) um:$$\pink{x=2-6y+z}$$und schreibe die Lösung hin:

$$\begin{pmatrix}\pink x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\pink{2-6y+z}\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-6\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$

Wie du selbst schreibst, ist die Darstellung nicht eindeutig. Du hättest die Ebenengleichung z.B. auch nach \(z\) umstellen können und würdest damit eine andere Parameterdarstellung erhalten.

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Sehr schön dargestellter Lösungsweg !

Answer 2

Lege in x+6y-z=2  x und y selbständig fest und bestimme z. Finde so drei verschiedene Punkte A, B und C mit der Ortsvektoren \( \vec{a} \) , \( \vec{b} \)  und \( \vec{c} \) . Dann ist z.B.

 \( \vec{x} \)=\( \vec{a} \)+r·(\( \vec{a} \)-\( \vec{b} \))+s·(\( \vec{a} \)-\( \vec{c} \)) eine solche Ebenengleichung.

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Besten Dank für die Antwort.

Laut Lehrbuch sind die Parameter durch Berechnung mit der Hilfe von Richtungs- und Normalvektoren zur Ebene zu lösen. Daran bin ich gescheitert. Aber es geht auch rechnen wie ich sehe.

Danke nochmal und ein schönes Wochenende

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Ja, das Lehrbuch hat recht. So geht es auch. Offensichtlich führen viele Wege nach Rom.

Answer 3

1. Lies einfach drei Punkte ab, die die Gleichung erfüllen

x + 6y - z = 2

(2 | 0 | 0) ; (0 | 1/3 | 0) ; (0 | 0 | -2)

2. Stelle dann eine Parameterform über 3 Punkte auf.

X = [2, 0, 0] + r * [-2, 1/3, 0] + s * [-2, 0, -2]

3. Vereinfache bei Bedarf

X = [2, 0, 0] + r * [6, -1, 0] + s * [1, 0, 1]

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Danke für die Hilfe und einen schönen Samstag

Answer 4

Hallo,

dass der Punkt (2|0|0) die Gleichung erfüllt, kannst du durch einsetzen feststellen.

Die Richtungsvektoren verlaufen orthogonal zum Normalenvektor n=[1;6;-1]. Du brauchst also zwei linear unabhängige Vektoren, die mit n skalar multipliziert Null ergeben.

1•x+6•y-1•z=0

Z.B. [-6;1;0] und [1;0;1].

:-)

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Das ist des Rätsels Lösung, vielen Dank