Löse das Gleichungssystem und gib die Funktionsgleichung an

Question

Ein beidseitig eingespannter Träger l=3m wird mit der Gleichlast q belastet.
Durch die Belastung biegt sich der Träger durch und man erhält die so genannte Biegelinie. Diese Biegelinie kann durch eine Polynomfunktion 4. Grads beschrieben werden:
y(x) =a.x⁴+ b. x³ + c. x²+ d. x + e
X..
.. Abstand vom Auflager A in mm
y(x) ... Durchbiegung an der Stelle x in mm
Die maximale Durchbiegung in der Mitte beträgt 2 cm. In den Einspannstellen ist die Durchbiegung null und die Tangenten an die Biegelinie sind waagrecht.
1) Stelle das Gleichungssystem zur Ermittlung der Koeffizienten der Funktion auf.

2) löse das Gleichungssystem und gib die Funktionsgleichung an

Answer 1

\(f(x)=a\cdot(x+150)^2\cdot(x-150)^2 \)

\(f(0)=a\cdot(0+150)^2\cdot(0-150)^2 \)

\(a\cdot(0+150)^2\cdot(0-150)^2=-2 \)

\(a=-\frac{1}{253125000} \)

\(f(x)=-\frac{1}{253125000}\cdot(x+150)^2\cdot(x-150)^2 \)

Comments

Du willst also (wieder mal) mit einer besonders eleganten Lösung glänzen.

Dass das dem Fragesteller einen Scheißdreck hilft, ist dir (wieder einmal) so was von egal.

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Wie wäre es, wenn du eine elegante Lösung einstellst, anstatt mal wieder rumzuprollen?!

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@Moliets

Es geht nicht um eine elegantere Lösung.

Der Fragesteller hat eindeutig benannt, dass er den Ansatz

y(x) =a.x4+ b. x3 + c. x2+ d. x + e

hat und damit weiterkommen möchte.

Das hast du aalglatt ignoriert und deinen üblichen Ego-Trip abgezogen.

Im Übrigen hast du Scharlatan nicht einmal die Balkenlänge richtig in Längeneinheiten umgesetzt. 3m sind 3000 mm und nicht 300.

@nanskxbx

Zunächst mal musst du dir klar werden, wie du dein Koordinatensystem platzieren willst.

Der Ursprung könnte sich in der Mitte zwischen der linken und rechten Einspannstelle befinden, aber auch an der linken oder rechten Stelle.

Nehmen wir mal an, wir setzen den Ursprung an den linken Rand des 3m (=3000 mm) langen Trägers.

Dann gilt

f(0)=0

f(3000)=0

Wegen der Durchbiegung 0 an den Einspannstellen gilt zusätzlich

f'(0)=0 und

f'(3000)=0.

Die Maximaldurchbiegung ist in der Mitte und beträgt 2cm = 20 mm.

Also ist die fünfte Bedingung

f(1500)=-20.

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Ergänzung: Im Fall der konkreten Aufgabe kann die von Moliets gewählte Lage der Koordinatensystems sogar strikt ausgeschlossen werden:

X.... Abstand vom Auflager A in mm

Da eine Skizze fehlt ist nicht bekannt, ob nun A der linke oder der rechte Auflagepunkt ist. Auf alle Fälle ist es ein Auflagepunkt und NICHT der Mittelpunkt zwischen beiden.

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Im Übrigen hast du Scharlatan...

Geht es dir nun wieder richtig gut?...

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Die aufgezeigten 5 Bedingungen sind zahlenmäßig einfach. Die Lösungen für a, b, c (d und e fallen raus) sind nicht einfache Zahlen sondern Bruchzahlen mit sehr großem Nenner. Dem Aufgabenersteller schien es auf die langwierige Berechnung dieser Zahlenwerte anzukommen. Folgende Aufstellung des Polynoms ist in meinen Augen dienlicher:

Im Ursprung \(A(0|0)\) und  \( B(3000|0)\) befindet sich jeweils eine doppelte Nullstelle (wegen Hochpunkten an der Koordinaten: Tangenten mit der Steigung 0). Es bietet sich somit die Nullstellenform der Parabel 4.Grades an:

\(f(x)=a \cdot x^2\cdot(x-3000)^2  \)

Das a ist über den Punkt \(T (1500|-20)\) leicht zu berechnen:

\(f(1500)=a\cdot1500^2 \cdot(1500-3000)^2\\                          =a\cdot1500^2 \cdot(-1500)^2  =-20\)

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Dem Aufgabenersteller schien es auf die langwierige Berechnung dieser Zahlenwerte anzukommen.

Sag mal, was hast denn du geraucht?

Den Stoff will ich auch!

d=e=0 bekommt man auch mit dem "langweiligen" Ansatz mit ax^4+bx^3+... schnell heraus. Das verbleibende System mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten ist dann so schwer und langwierig wohl doch nicht.

Ja, deinen Ansatz kann man nehmen. Dann sei aber wenigstens dem Fragesteller gegenüber so fair, dass du wenigstens beiläufig erwähnst, dass das Ausmultiplizieren von

\(a \cdot x^2\cdot(x-3000)^2  \) dann auch auf die beiden anderen Parameter b und c führt.