Wie groß ist die maximaie Durchbiegung in Abhängigkelt von der Stablänge?

Question

Aufgabe:

Anwendungsbezogene Aufgaben Parameterschar
Problem/Ansatz:

Kann mir jmd. bitte erklären wie diese Aufgaben funktionieren

Text erkannt:

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Wenn ein Stab an seinen Enden aufliegt, so biegt er sich durch. Die Durchbiegung hängt vom Material und den Abmessungen des Querschnitts ab. Eine bestimmte Sorte von Eisenträgern nimmt die Form des Graphen der Funktion \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) an:
\( f_{a}(x)=4 \cdot 10^{-10} \cdot\left(-x^{4}+2 a x^{3}-a^{3} x\right) ; 0 \leq x \leq a \)
Hierbel ist a die Stablänge und \( f_{a}(x) \) die Durchbiegung (jeweils in \( \mathrm{cm} \) ).
a) Erstellen Sie im selben Koordinatensystem die Graphen für Stäbe der Lànge \( \mathrm{a}=200,300,400 \).
b) Wie groß ist die maximaie Durchbiegung in Abhängigkelt von der Stablänge?
c) Wie ândert sich die maximale Durchbiegung, wenn die Stablänge verdoppelt wird?
d) Wie lang darf der Stab höchstens sein, wenn die Durchblegung nicht mehr als \( 1 \mathrm{~mm} \) sein soll?
Z5
An einem Hang soll uber zwel je 45 Meter hohe Masten ein Stromkabel verlegt werden. In dern angegebenen Koordinatensystem verlâut das Kabel nach dem Graphen der Funktion \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) mit
\( f_{0}(x)=\frac{3}{20 a} x^{2}-\frac{600+3 a}{20 a} x+30 \)
a, \( f_{\mathrm{a}}(\mathrm{x}) \) in Meter.
a) Welche Steigung hat der Hang?
b) Erstellen Sie für verschiedene Werte von a ein Schaubild von Hang und Kabel.
c) Wie groß dürfen für a = 50 Bäume am Hang werden, damit sie nicht das Stromkabel stören?
d) Kann man a so wählen, dass die Bäume am Hang 30 Meter hoch werden können?

Answer 1

b) Wie groß ist die maximale Durchbiegung in Abhängigkeilt von der Stablänge?

Da brauchst du doch nur das Maximum von f_a im Intervall [o;a] zu bestimmen.

Also \( f_{a}'(x)=4 \cdot 10^{-10} \cdot\left(-4x^{3}+6a x^{2}-a^{3} \right) \)

gleich 0 setzen und x bestimmen.

Bei \( -4x^{3}+6a x^{2}-a^{3} =0 \) ist offenbar x=a/2 eine Lösung

und die anderen beiden liegen nicht im Def.bereich. Also ist

die stärkste Durchbiegung in der Mitte des Stabes.

Vielleicht sollte man mit der 2.Abl. noch zeigen, dass da wirklich

ein Min. ist (Werte sind ja negativ) und den Wert ausrechnen.

Ich komme auf -1,25*10^(-10)*a^4.

c) Also bei doppelter Stablänge wird es das 16-fache.

d)  Mit -1,25*10^(-10)*a^4 = -0,1  das a ausrechnen.

Gibt a=1,68m.

Answer 2

b) Wie groß ist die maximale Durchbiegung in Abhängigkeit von der Stablänge?

\( f_{a}(x)=4 \cdot 10^{-10} \cdot\left(-x^{4}+2 a x^{3}-a^{3} x\right) ; 0 \leq x \leq a \)

In der Mitte des Stabes ist die maximale Durchbiegung:

\( f(\frac{a}{2})=4 \cdot 10^{-10} \cdot\left(-(\frac{a}{2})^{4}+2 a \cdot (\frac{a}{2})^{3}-a^{3} \cdot (\frac{a}{2})\right) \)

\( f(\frac{a}{2})=4 \cdot 10^{-10} \cdot\left(-\frac{a^4}{16}+ (\frac{a^4}{4})-(\frac{a^4}{2})\right) \)

\( f(\frac{a}{2})=4 \cdot 10^{-10} \cdot\left(-\frac{5a^4}{16}\right) \)

d) Wie lang darf der Stab höchstens sein, wenn die Durchbiegung nicht mehr als \( 1 \mathrm{~mm} \) sein soll?

\(1mm=0,1cm\)

\( 4 \cdot 10^{-10} \cdot\left(-\frac{5a^4}{16}\right)=0,1 \)

\( a= 168,179cm\)