Aloha :)
Wir sollen den Flächeninhalt bestimmen, den die beiden Funktionen einschließen:$$f(x)=\frac{4}{x^2}\quad\text{und}\quad g(x)=-\frac54x+\frac{21}{4}$$
Beide Funktionen sind für \(x=0\) nicht definiert, denn dann würden wir durch Null dividieren.
Wir bestimmen zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen:$$f(x)=g(x)\quad\big|\text{einsetzen}$$$$\frac{4}{x^2}=-\frac54x+\frac{21}{4}\quad\big|\cdot4x^2$$$$16=-5x^3+21x^2\quad\big|\text{alle Terme auf eine Seite bringen}$$$$5x^3-21x^2+16=0$$An dieser Stelle sind wir faul und verwenden einen Taschenrechner:$$x_1=-\frac45\quad;\quad x_2=1\quad;\quad x_3=4$$
Da \(f(x)\) und \(g(x)\) beide bei \(x=0\) nicht definiert sind, betrachten wir die eingeschlossene Fläche links und rechts von der y-Achse unabhängig voneinander. Da links von der y-Achse mit \(x_1=-\frac45\) nur ein Schnittpunkt exisitert, schließen die beiden Funktionen dort keine Fläche ein. Rechts von der y-Achse haben wir zwei Schnittpunkte \(x_2=1\) und \(x_3=4\) und können die eingeschlossene Fläche bestimmen:$$F= \left|\int\limits_1^4\left(f(x)-g(x)\right)\,dx\right|=\left|\int\limits_1^4\left(\frac{4}{x^2}+\frac54x-\frac{21}{4}\right)\right|$$$$\phantom F=\left|\left[-\frac4x+\frac58x^2-\frac{21}{4}x\right]_1^4\right|=\left|-12+\frac{69}{8}\right|=\frac{27}{8}$$
~plot~ 4/x^2 ; -5/4*x+21/4 ; {-4/5|25/4} ; {1|4} ; {4|1/4} ; [[-5|6|-1|8]] ~plot~
