Aufgabe: Für Mengen A, B Mengen sei A△B := (A \ B) ∪ (B \ A).
Sei A* eine Menge von Teilmengen der Menge {1, 2, . . . , n}, so dass
(i) {i} ∈ A* für alle i ∈ {1,...,n} und
(ii) für A,B ∈ A* ist A△B ∈ A*.
Zeigen Sie: A* enthält jede Teilmenge von {1, . . . , n}.
…
Problem/Ansatz:
Ich habe bereits eine Lösung, bin mir aber nicht sicher ob es so richtig ist. So sieht meine Lösung aus (Aus Handschrift umgewandelt). Es wäre schon hilfreich für mich zu wissen ob ich die Aufgabenstellung überhaupt richtig interpretiert habe.
\( \{i\} \varepsilon \mathcal{A} \) wenn \( i \varepsilon\{1, \ldots, n\} \) und \( (x \in A)(x \in B) \in \mathcal{A} \) ist \( (x \in A \) and \( x \notin B) \) oder \( (x \in B \) und \( x \notin A) \)
i) \( \mathcal{A}_{i}=\{1, \ldots, n\} \) und
ii) \( A, B \in A=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \varepsilon A \)
\( \Rightarrow A_{i}=\{1, \ldots, n\} \) und \( x \in A \) und \( x \varepsilon B= \) \( (x \in A \) and \( x \notin B) \) oder \( (x \in B \) und \( x \notin A) \)
\( \begin{array}{l} \Rightarrow A_{i}=\{1, \ldots, n\} \text { und } x \in A \text { und } \times \in B=\times \varepsilon A \cup \times \varepsilon B \\ \Rightarrow A_{i}=\{1, \ldots, n\} \text { und } \times \varepsilon A \text { und } \times \varepsilon B=A \cup B \\ \Rightarrow A_{i}=\{1, \ldots, n\} \text { und } A=B \\ \left.\Rightarrow A_{i}=\{1, \ldots, n\} \cap A=B\right\} \\ \Rightarrow A_{i}=\{1, \ldots, n\} \supseteq A=B \quad \begin{array}{l} \text { Wie in Aufgabe } 3 \text { schon } \\ \text { bewiesen wurde gilt das. } \end{array} \end{array} \)
Wie in Aufgabe 3 schon bewiesen wurde gilt das.
\( \Rightarrow \mathcal{A} \) enthält \( \{i\} \) fär \( i \varepsilon\{1, \ldots, n\} \) und somit auch die Menge \( \{1, \ldots, n\} \), wovon \( A \) und \( B \) (Welche gleich sind) die Teilmengen sind.
Danke!
