Wie findet man die Nullstellen und zeichnet dann den entsprechenden Graphen?

Question

Aufgabe:

Biquadratische Funktion (Substitution)
Gesucht sind die Nullstellen von f. Zeichnen Sie den Graphen von f.

a) f(x) = x^4-3x^2-4

              c) f(x)= 1/4x^4 - 5/4x^2 +1

Answer 1

a)   \( f(x) = x^4-3x^2-4\)

\(  x^4-3x^2-4=0\)  Ohne Substitution:

\(  (x^2-\frac{3}{2})^2-4-(\frac{3}{2})^2=0\)

\(  (x^2-\frac{3}{2})^2=\frac{16}{4}+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}     |\sqrt{~~}\)

1.)

\(  x^2-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}  \)

\(  x^2=4 \)

\(  x_1=2 \)

\(  x_2=-2 \)

2.) Lösungen  ∈ ℂ:

\(  x^2-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}  \)

\(  x^2=-1=i^2  \)

\(  x_3=i \)

\(  x_4=-i \)

c)

\(f(x)= \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{4}x^2 +1\)

 \( \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{4}x^2 +1=0|\cdot4\)  Ohne Substitution:

\( x^4 - 5x^2 =-4\)

\( (x^2 - 2,5)^2 =-4+6,25=2,25  |\sqrt{~~}\)

1.)

\( x^2 - 2,5 =1,5  \)

\( x_1=2 \)

\( x_2=-2 \)

2.)

\( x^2 - 2,5 =-1,5  \)

\( x_3=1 \)

\( x_4=-1 \)

Answer 2

a) substituiren; z= x^2

z^2-3z-4 = 0

(z-4)(z+1) = 0

z= 4 v z= -1 (entfällt)

x^2 = 4

x= +-2

alternativ mit pq-Formel_

z1/2 = 1,5+-√(1,5^2+4) = 1,5+-2,5

z1= 4, z2= -1

....

z1=

c) mal 4

x^4-5x^2+4 = 0

ohne Substitution mit Vieta:

(x^2-1)(x^2-4) = 0

x^2= 1  v x^2 = 4

x= +-1 v x= +-2