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Hausaufgabe 2.1 (2 Punkte)
Ein kleines Teilchen der Masse \( m \) an der Position \( \vec{r}(t)=(x(t), y(t), z(t))^{T} \) spüre die Gravitationskraft
\( \vec{F}(\vec{r})=-G \frac{m M}{\|\vec{r}-\vec{R}\|^{3}}(\vec{r}-\vec{R}) \)
eines großen Teilchens der Masse \( M \) an der Position \( \vec{R}=\left(R_{x}, R_{y}, R_{z}\right) . G>0 \) ist die Gravitationskonstante. Betrachten Sie die neuen Variablen \( v_{x}=\dot{x}, v_{y}=\dot{y}, v_{z}=\dot{z} \). Schreiben Sie die Bewegungsgleichung des kleinen Teilchens in Form eines Systems von Differentialgleichungen erster Ordnung in den Variablen \( \left(x, y, z, v_{x}, v_{y}, v_{z}\right) \) auf. Beachten Sie, dass wir in einer dreidimensionalen Welt leben und der Einfachheit halber beeinflusse das kleine Teilchen nicht die Position des Großen. Aufgrund der Trägheit gilt \( \vec{F}=m \ddot{\vec{r}} \).
Hausaufgabe 2.2 (3 Punkte)
Skizzieren Sie das Richtungsfeld der reellen DGL \( y^{\prime}=-2 x y \) per Hand oder mit einem geeigneten Zeichenprogramm.
Bestimmen Sie rechnerisch die Lösung des Anfangswertproblem \( y(0)=1 \) und tragen Sie die Lösung in die Zeichnung ein.
Hausaufgabe 2.3 (4 Punkte)
Lösen Sie das Anfangswertsproblem im I. Quadranten \( x>0, y>0 \)
\( \frac{2 y y^{\prime}}{1+2 x}=1+y^{2}, \quad y(2)=\sqrt{e^{4}-1} . \)
Ermitteln Sie dabei den maximalen (offenen) Definitionsbereich der Lösung.
Hausaufgabe 2.4 (3 Punkte)
Für welche Anfangswerte existiert nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz genau eine Lösung für die folgenden Differezialgleichungen, für welche Anfangswerte können keine Aussagen mit dem Satz getroffen werden?
i) Anfangswerte \( x_{0}, y\left(x_{0}\right) \) für
\( (y-x) y^{\prime}=y \ln (x) \)
ii) Anfangswerte \( x_{0}, y\left(x_{0}\right), y^{\prime}\left(x_{0}\right), y^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \) für
\( y^{\prime \prime}-y y^{\prime \prime \prime}=\sqrt[5]{y^{\prime}-x} \)
Problem/Ansatz:
Hello, ich komme leider bei der Lösung meiner DGL Hausaufgaben nicht weiter. Wäre jemand so hilfsbereit um mir bzgl der Lösungswege zu helfen?
