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Aufgabe: Sei A eine Menge, deren Elemente selbst wieder Mengen sind. Setze B = ∪ (aller D ∈ A) . ZeigenSie: Ist C eine Menge, so dass C ⊆ B und D ⊆ C für alle D ∈ A, so ist B = C.


Problem/Ansatz:

Ich habe eine Lösung (angehängt) bei der ich nicht sicher bin, ob das die Aufgabe löst und einen Ansatz, bei dem ich mir sehr unsicher bin ob man mit diesem auch in der Mathematik argumentieren könnte.

Mein Ansatz wäre zu sagen, dass für alle D1-Dn gilt: D1-Dn ⊆ C (Da so auch B definiert ist) und somit C = B sein muss.IMG_0759.jpeg

Text erkannt:

Da \( B=U_{\partial \varepsilon A} D \), enthält Balle Elemente aus den Mengen in \( A\left(d_{a} D \varepsilon A\right) \).
Somit gilt \( A \subseteq B \), aber auch \( B \subseteq A \), da \( A \) alle Teilmengen von \( B \) enthält und \( B \) die Menge ist, welche alle Elemente der Mengen van A enthält.

Bsp: \( A=\{\{1,2\},\{3,4\} ; B=\{1,2,3,4\} \)
\( \{1,2,3,4\} \subseteq\{\{1,2\},\{3,4\}\} \), da alle Elemente aus \( B \) in den
Teilmengen in A enthalten sind.

Somit gilt durch \( A \subseteq B \) und \( B \subseteq A \Rightarrow B=A \)
Sei eine zusätzliche Menge \( C \), für die gilt \( D \subseteq C, C \subseteq B \) und somit \( C \subseteq A \).
\( \Rightarrow \) Wenn \( C=A \), dann \( B \subseteq A \) and \( A \subseteq C \Rightarrow B \subseteq C \).
Somit wissen wir \( C \subseteq B \) und \( B \subseteq C \) und daraus \( \Rightarrow B=C \)
\( \Rightarrow \) Wenn \( C \subsetneq A \), dann: \( C \subsetneq B \) and \( B \notin C \Rightarrow B \neq C \)

Somit ist gezeigt, dass es eine Menge \( C \) gibt, für die gilt \( C \subseteq B \) und \( D \subseteq C \) und für die zusätzlich gellen muss \( A=C \), damit \( B=C \) gellen kann.

IMG_0759.jpeg

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für alle D1-Dn gilt: D1-Dn ⊆ C

Das ist falsch.

Beispiel. \(D1 = \{1\}, C = \{2\}\). Dann ist \(D1 \nsubseteq C\).

Somit gilt \( A \subseteq B \)

Das ist falsch.

Beispiel. \(A = \{\{1\}, \{2\}\}\). Dann ist \(B = \{1,2\}\) und somit \(A\nsubseteq B\).

Stattdesssen: Sei \(C \subseteq B\) so dass \(D \subseteq C\) für alle \(D \in A\) ist.

Um zu zeigen, dass \(C=B\) ist, genügt es zu zeigen, dass \(B\subseteq C\) ist, da \(C\subseteq B\) laut Definition von \(C\) gilt.

Sei dazu \(b\in B\). Ferner sei \(D\in A\) mit \(b\in D\). Ein solches \(D\) existiert laut Definition von \(B\).

Laut Definition von \(C\) ist \(D\subseteq C\), also \(b\in C\).

Übrigens:

\(D \varepsilon A \)

Das "ist Element von"-Symbol wird nicht wie ein Epsilon geschrieben, sondern eher wie ein Halbkreis mit einem Strich.

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